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Wie du die prozentuale Wachstumsrate berechnest


Aufgabe

In einem See leben 5000 Karpfen. Nach 6 Jahren, in denen in diesem See nicht gefischt wird, ist die Karpfenpopulation auf 40.992 Fische angewachsen. Bestimme die jährliche Wachstumsrate in Prozent.

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung auf

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um exponentielles Wachstum. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:

\(f(x) = b \cdot a^x\)

Dabei ist b der Anfangswert und a der sogenannte Wachstumsfaktor. x bezieht sich meist auf einen Zeitraum und f(x) beschreibt die vorhandene Menge nach x Jahren.

Schritt 2: Setze die gegebenen Größen in die Funktionsgleichung ein

Jetzt setzt du die Zahlen, die in der Aufgabe gegeben sind, an den richtigen Stellen in die Funktionsgleichung ein.

Anfangs waren es 5000 Fische; dies entspricht also dem Anfangswert b.

Der Wachstumsprozess dauert 6 Jahre; dies entspricht also der Größe x.

Nach dem Wachstumsprozess sind es 40.992 Fische; dies entspricht also dem Endwert f(x).

Der Wachstumsfaktor a beinhaltet die gesuchte prozentuale Wachstumsrate.

Mit den Zahlen eingesetzt lautet die Gleichung:

\(40.992 = 5000 \cdot a ^6\)

Schritt 3: Löse nach a auf

Nun musst du die Gleichung nach a auflösen. Dazu teilst du erst einmal durch 5000.

\(40.992 = 5000 \cdot a^6\) | \(: 5000\)

\(8,1984 = a^6\)

Das Zwischenergebnis solltest du nach Möglichkeit nicht runden.

Um die 6 im Exponenten auf die andere Seite zu bringen, musst du die 6. Wurzel ziehen.

\(a = \sqrt[6]{8,1984}\)

\(a \approx 1,42\)

Schritt 4: Berechne die Wachstumsrate

Wenn du den Wachstumsfaktor a kennst, kannst du mit folgendem Zusammenhang die Wachstumsrate p berechnen:

\(p = a - 1\)

Hier berechnest du die Wachstumsrate also folgendermaßen:

\(p = 1,42 - 1 = 0,42\)

Willst du diese Zahl noch in eine Prozentzahl umwandeln, so musst du sie einfach mal 100 nehmen.

\(p = 0,42 \cdot 100 = 42\ \%\)

Lösung

Die jährliche Wachstumsrate beträgt 42 %.

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