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Wie du die Polynomdivision durchführst


Aufgabe

Führe folgende Polynomdivision durch:

\((x^3-5x^2+2x+24):(x-4)\)

Hinweis

Eine Polynomdivision brauchst du beispielsweise dann, wenn du die Nullstellen eines Polynoms bestimmen willst.

Schritt 1: Führe einen kompletten Zyklus der Polynomdivision durch

Der komplette Zyklus einer Polynomdivision besteht aus 3 Teilschritten.

1) Dividiere den ersten Summanden durch x

\((\color{red}{x^3}-5x^2-2x+24):(\color{red}{x}-4)=\color{green}{x^2}\) Als Erstes rechnest du \(\color{red}{x^3}\) durch \(\color{red}{x}\) und erhältst \(\color{green}{x^2}\). Das notierst du hinter dem Gleichheitszeichen.

b) Multipliziere das Ergebnis mit der ganzen Klammer

\((x^3-5x^2-2x+24):\color{green}{(x-4)}=\color{green}{x^2} \\ \ \color{orange}{x^3-4x^2}\) Als Nächstes rechnest du \(\color{green}{x^2}\) mal \(\color{green}{(x-4)}\) und schreibst das Ergebnis \(\color{orange}{x^3-4x^2}\) genau unter den Anfangsterm.

c) Ziehe das Ergebnis vom Ursprungsterm ab

\( \ \ \ \color{orange}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{orange}{)}:(x-4)=x^2 \\ \underline{ \color{orange}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{orange}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2 -2x +24\) Dann ziehst du den eben berechneten Term \(x^3 - 4x^2 \) vom Ursprungsterm \(x^3 - 5x^2 - 2x +24\) ab. Achte auf Klammern und Vorzeichen! Du erhältst \(-x^2 - 2x +24\).

Mit diesem Term fängt nun der ganze Zyklus von vorn an.

Schritt 2: Wiederhole Schritt 1 so lange, bis der Rest 0 wird

Jetzt nimmst du den übrig gebliebenen Restterm und führst einen neuen kompletten Zyklus der Polynomdivision durch.

1) Dividiere den ersten Summanden durch x

\( \ \ \ \color{}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{}{)}:( \color{red}{x}-4)=x^2 \color{green}{-x}\\ \underline{ \color{}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{-x^2} -2x +24\) Du rechnest \(\color{red}{-x^2}\) durch \(\color{red}{x}\) und erhältst \(\color{green}{-x}\). Dies schreibst du hinter \(x^2\) hinter dem Gleichheitszeichen.

2) Multipliziere das Ergebnis mit der ganzen Klammer

\( \ \ \ \color{}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{}{)}: \color{green}{(x-4)}=x^2 \color{green}{-x}\\ \underline{ \color{}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{}{-x^2} -2x +24 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{orange}{-x^2 +4x}\) Dann rechnest du \(\color{green}{-x}\) mal \(\color{green}{(x-4)}\) und schreibst das Ergebnis \(\color{orange}{-x^2 +4x}\)  wieder genau unter den vorherigen Term.

3) Ziehe das Ergebnis vom Ursprungsterm ab

\( \ \ \ \color{}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{}{)}: \color{}{(x-4)}=x^2 \color{}{-x}\\ \underline{ \color{}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{orange}{(} -x^2 -2x +24 \color{orange}{)} \\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{ \color{orange}{-(}-x^2 +4x +0 \color{orange}{)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -6x +24\) Wenn du nun wieder die beiden untereinanderstehenden Terme voneinander abziehst, erhältst du \(-6x+24\).

Mit diesem neuen Restterm fängt alles wieder von vorn an.

1) Dividiere den ersten Summanden durch x

\( \ \ \ \color{}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{}{)}:( \color{red}{x}-4)=x^2 -x\color{green}{-6}\\ \underline{ \color{}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{}{(} -x^2 -2x +24 \color{}{)} \\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{ \color{}{-(}-x^2 +4x +0 \color{}{)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red} {-6x} +24\) Du rechnest \(\color{red}{-6x}\) durch \(\color{red}{x}\) und erhältst \(\color{green}{-6}\)Dies schreibst du hinter \(x^2-x\) hinter dem Gleichheitszeichen.

2) Multipliziere das Ergebnis mit der ganzen Klammer

\( \ \ \ \color{}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{}{)}: \color{green}{(x-4)}=x^2 -x\color{green}{-6}\\ \underline{ \color{}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{}{(} -x^2 -2x +24 \color{}{)} \\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{ \color{}{-(}-x^2 +4x +0 \color{}{)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -6x +24 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{orange}{-6x+24}\) Du rechnest \(\color{green}{-6}\) mal \(\color{green}{(x-4)}\) und erhältst \(\color{orange}{-6x +24}\).

3) Ziehe das Ergebnis vom Ursprungsterm ab

\( \ \ \ \color{}{(}x^3-5x^2-2x+24\color{}{)}: \color{green}{(x-4)}=x^2 -x\color{green}{-6}\\ \underline{ \color{}{-(} x^3-4x^2 +0x +\ \ 0 \color{}{)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{}{(} -x^2 -2x +24 \color{}{)} \\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{ \color{}{-(}-x^2 +4x +0 \color{}{)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -6x +24 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{\color{orange}{-(} -6x+24 \color{orange}{)} \ \ \ } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\) Wenn du dieses Mal die beiden Terme voneinander abziehst, kommt genau null raus. Das bedeutet, du bist fertig!

Lösung

\((x^3-5x^2-2x+24) : (x-4) = x^2-x-6\)

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