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Wie du die Parameter einer ganzrationalen Funktion bestimmst


Aufgabe

An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudí gestalteten Casa Batlló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).

Wie du die Parameter einer ganzrationalen Funktion bestimmst - Abbildung 1

Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten Koordinatensystems die Punkte \(A({-2}|0)\), \(B(2|0)\) und \(C(0|5)\) liegen (1 LE entspricht 1 m, das heißt, das Kunstwerk ist 5 m hoch).

Ermittle den Term einer in \(\mathbb{R}\) definierten quadratischen Funktion \(p\), deren Graph durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) verläuft.

Hinweis

Bei dieser Aufgabe musst du erst die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel aufstellen, dann die vorgegebenen Punkte einsetzen und das daraus entstehende Gleichungssystem lösen.

Schritt 1: Ansatz mit Parabelgleichung

Die Aufgabenstellung legt fest, dass eine Parabelgleichung, also eine quadratische Funktion, gefordert ist. Das bedeutet, dass die Funktionsgleichung die Form

\(p(x) = ax^2 + bx + c\)

hat, wobei \(a\), \(b\) und \(c\) noch zu bestimmende Parameter sind.

Schritt 2: Funktionswerte einsetzen

Laut Vorgabe sollen die Punkte \(A({-2}|0)\), \(B(2|0)\) und \(C(0|5)\) auf dem Graphen von \(p\) liegen, das heißt, wenn man die \(x\)-Koordinaten der Punkte in den Funktionsterm einsetzt, müssen die entsprechenden \(y\)-Koordinaten herauskommen.

Es muss also \(p(-2)=0\), \(p(2)=0\) und \(p(0)=5\) gelten.

Koordinaten von \(A\) einsetzen

Durch Einsetzen der Koordinaten von \(A({-2}|0)\) in die Funktionsgleichung erhältst du die erste Bedingung:

\(0 = a\cdot(-2)^2+ b \cdot (-2) + c\Longleftrightarrow0 = 4a - 2b + c\)

Koordinaten von \(B\) einsetzen

Analog erhältst du durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt B(2|0) die Bedingung:

\(0 = a \cdot2² + b\cdot2+c\Leftrightarrow0=4a+2b+c\)

Koordinaten von C einsetzen

Schließlich liefert das Einsetzen der Koordinaten von Punkt \(C(0|5)\) die dritte Bedingung:

\(5 = a\cdot0^2+b\cdot0+c\Longleftrightarrow5=c\)

Schritt 3: Lineares Gleichungssystem lösen 

Aus Schritt 2 trägst du nun die drei vereinfachten Gleichungen für die drei Parameter zusammen und stellst ein lineares Gleichungssystem auf.

\(\begin{alignat*}{4} &\text{I}:&4&a&-2&b&+&c&=0\\ &\text{II}:&4&a&+2&b&+&c&=0\\ &\text{III}:&&&&&&c&=5 \end{alignat*}\)

Gleichungssystem Lösen

Der Parameter \(c\) ist durch III ja schon gegeben, zu bestimmen sind also noch \(a\) und \(b\).

Diese beiden Variablen tauchen nur in Gleichung I und II auf. Diese beiden Gleichungen müssen jetzt so kombiniert werden, dass entweder \(a\) oder \(b\) rausfällt.

Wenn du bei diesem Gleichungssystem die erste Gleichung von der zweiten abziehst, dann fällt \(a\) raus. Somit erhältst du:

\(\text{II}-\text{I}: 4b =0 \Longleftrightarrow\ b=0\)

Einsetzen von \(b=0\) und \(c=5\) in I liefert:

\(4a-0+5=0\Longleftrightarrow\ a=-\frac{5}{4}=-1{,}25\)

Somit sind alle drei Parameter bestimmt und wir können die Funktionsgleichung von \(p\) angeben.

Lösung

\(p(x)=-1{,}25x^2+5\)

Bemerkung

Die Parameter einer ganzrationalen Funktion ergeben sich im Allgemeinen aus vier Arten von Angaben:

  1. Funktionswerte, z. B. \(f(8)=6\),
  2. Ableitungswerte, z. B. Hochpunkt bei \(x=0\) bedeutet \(f'(0)=0\),
  3. Werte der zweiten Ableitung, z. B. maximale Steigung bei \(x=1\) bedeutet \(f''(1)=0\) und
  4. Symmetriebedingungen, z. B. Symmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet, dass nur gerade Potenzen von \(x\) im Funktionsterm auftauchen. Diese letzte Bedingung ist die stärkste, die solltest du als Allererstes nutzen, wenn sie in der Aufgabe gegeben ist.

In dieser Aufgabe wurde nur von der ersten Möglichkeit Gebrauch gemacht, aber Möglichkeit 2 und 4 kommen durchaus auch in Abiturprüfungen vor.

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