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Wie du die Oberfläche eines Prismas berechnest


Aufgabe

Ein Hersteller will den Verkauf seiner Schokolade ankurbeln, indem er sie in eine ganz besondere Verpackung mit einem symmetrischen Trapez als Vorderseite steckt. Wie viel cm2 Karton benötigt man für die Herstellung der Verpackung? (Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Wie du die Oberfläche eines Prismas berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Stelle die Oberflächenformel auf

Die Oberfläche der Verpackung besteht aus sechs Teilen: vorne und hinten Trapeze der gleichen Größe T, rechts und links Rechtecke der gleichen Größe R, oben ein Rechteck der Breite 4 cm und der Länge 30 cm und schließlich unten ein Rechteck der Breite 2 cm und der Länge 30 cm.

Die Fläche eines Rechtecks der Breite b und der Länge l ist \(b\cdot l\), also hat die Verpackung insgesamt folgende Oberfläche:

\(A=2\cdot T+2\cdot R+4\text{ cm}\cdot 30\text{ cm}+2\text{ cm}\cdot 30\text{ cm}\)

Schritt 2: Berechne die Grundfläche und Seitenfläche

In der obigen Formel fehlen uns die trapezförmige Grundfläche T und die Seitenfläche R. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet

\(A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h\),

wobei a und b die Längen der beiden parallelen Seiten sind und h der Abstand der parallelen Seiten voneinander. Hier ist also \(a=2\text{ cm}, b=4\text{ cm}\) und \(h=2\text{ cm}.\) Das Einsetzen in die Flächenformel für das Trapez liefert

\(\begin{align*} T&=\frac{1}{2}(2\text{ cm}+4\text{ cm})\cdot 2\text{ cm}\\ &=\frac{1}{2}\cdot 6\text{ cm}\cdot 2\text{ cm}\\ &=3\text{ cm}\cdot 2\text{ cm}\\ &=6\text{ cm}^2. \end{align*}\)

Für die Seitenfläche fehlt uns die Länge der kürzeren Seite. Um diese Länge zu berechnen, zerlegen wir die Trapezfläche wie folgt:

Wie du die Oberfläche eines Prismas berechnest - Abbildung 2

Die obere Kante ist insgesamt 4 cm lang und laut Aufgabenstellung symmetrisch, also muss rechts und links vom Quadrat der Seitenlänge von 2 cm jeweils 1 cm der Oberkante herausragen.

Die gesuchte Länge l ist jetzt die Hypotenuse (längste Seite) in einem rechtwinkligen Dreieck, von dem wir die beiden kürzeren Seiten kennen. Somit errechnet sich l mit dem Satz des Pythagoras:

\(\begin{align*}(2\text{ cm})^2+(1\text{ cm})^{2}=l^{2} \Longrightarrow l&=\sqrt{(2\text{ cm})^2+(1\text{ cm})^2}\\ &=\sqrt{4\text{ cm}^2+1\text{ cm}^2}=\sqrt{5}\text{ cm} \end{align*}\)

Die rechteckigen Seitenflächen haben somit die Seitenlängen 30 cm und \(\sqrt{5}\text{ cm}\), also den Flächeninhalt \(R=30\sqrt{5}\text{ cm}^2\).

Schritt 3: Zähle die Teilflächen zusammen

Um die Gesamtoberfläche der Schokoladenverpackung zu ermitteln, musst du nur noch alle Teilflächen zusammenzählen, die in Schritt 2 berechnet worden sind.

\(\begin{align*} A&=2\cdot T+2\cdot R+4\text{ cm}\cdot 30\text{ cm}+2\text{ cm}\cdot 30\text{ cm}\\ &=2\cdot 6\text{ cm}^2+2\cdot 30\sqrt{5}\text{ cm}^2+4\text{ cm}\cdot 30\text{ cm}+2\text{ cm}\cdot 30\text{ cm}\\ &=12\text{ cm}^2+60\sqrt{5}\text{ cm}^2+120\text{ cm}^2+60\text{ cm}^2\\ &=192\text{ cm}^2+60\sqrt{5}\text{ cm}^2\\ &\approx 326,2\text{ cm}^2 \end{align*} \)

Lösung

Man benötigt zur Herstellung der Verpackung ca. \(326,2 \text{ cm}^2 \) Karton.

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