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Wie du die Lösungsmenge von linearen Ungleichungen grafisch bestimmst


Aufgabe

Löse die lineare Ungleichung grafisch.

\(x-4\le 5-2x\)

Schritt 1: Erstelle zwei Geradengleichungen

Um eine Ungleichung grafisch zu lösen, musst du Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dazu brauchst du natürlich erst einmal Geradengleichungen. Diese liefert dir die Ungleichung selbst: Jede Seite der Ungleichung kann als rechte Seite einer Geradengleichung betrachtet werden. Du erhältst daher die folgenden zwei Geradengleichungen:

\(g_1:y=x-4\)

\(g_2:y=5-2x\)

Damit du die Geraden schnell in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst, ist es hilfreich, sie auf die Normalform einer Geradengleichung zu bringen: \(y=mx+b\) mit \(m\) als Steigung der Geraden und \(b\) als y-Achsenabschnitt. Die zweite Geradengleichung kannst du daher noch umformen zu:

\(g_2:y=-2x+5\)

Beachte, dass eine Geradengleichung auch schlichte Formen wie \(y=x\) oder \(y=4\) haben kann, in denen entweder kein y-Achsenabschnitt auftaucht oder die Variable \(x\) gar nicht benutzt wird.

Schritt 2: Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem

Nun zeichnest du die beiden Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem. Das geht ganz einfach, indem du für jede Geradengleichung den y-Achsenabschnitt auf der y-Achse markierst und dann von dort aus die entsprechende Steigung abträgst.

Die Steigung \(+1\) der ersten Geraden bedeutet, dass du für eine Einheit nach rechts eine Einheit nach oben laufen musst. Dann hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade einzeichnen. Bei der Steigung \(-2\) musst du pro Einheit nach rechts zwei Einheiten nach unten laufen.

Die gezeichneten Geraden sehen dann so aus:

Wie du die Lösungsmenge von linearen Ungleichungen grafisch bestimmst - Abbildung 1

Denk daran, die Geraden zu beschriften, damit du sie unterscheiden kannst.

Schritt 3: Finde den Schnittpunkt der Geraden

Nun musst du den Schnittpunkt der beiden Geraden finden. Es ist \((3|-1)\). Markiere die x-Koordinate auf der x-Achse deines Koordinatensystems.

Wie du die Lösungsmenge von linearen Ungleichungen grafisch bestimmst - Abbildung 2

Schritt 4: Lies an der x-Achse die Lösungsmenge ab

Die 3 markiert die Grenze deiner Lösungsmenge. Um zu entscheiden, ob nun die Zahlen links oder rechts davon die Lösungsmenge bilden, schaust du dir die Ungleichung noch einmal genau an. Du suchst alle Zahlen, für die \(x-4\le 5-2x\), also \(g_1\le g_2\) gilt. Daher musst du überprüfen, wo die erste Gerade unterhalb der zweiten verläuft. Dies ist bzgl. der x-Achse links von der 3 der Fall. Das kannst du dir durch eine farbige Markierung verdeutlichen. Da die Ungleichung ein Kleiner-gleich-Zeichen und nicht ein Kleiner-als-Zeichen enthält, gehört die 3 selbst mit zur Lösungsmenge. Dies machst du durch eine nach links geschlossene eckige (Intervall-)Klammer deutlich.

Wie du die Lösungsmenge von linearen Ungleichungen grafisch bestimmst - Abbildung 3

Lösung

Die Lösungsmenge ist \(L=\{x\in\mathbb{R}: x\le 3\}=]-\infty, 3]\).

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