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Wie du die Diagonalen einer Raute berechnest


Aufgabe

Berechne die Längen der beiden Diagonalen der abgebildeten Raute.

Wie du die Diagonalen einer Raute berechnest - Abbildung 1

Hinweis

Die Diagonalen der Raute sind doppelt so lang wie die Seitenlängen \(x\) und \(y\) des roten Dreiecks im unteren Bild.

Schritt 1: Seitenlängen eines Dreiecks berechnen

Die Raute ist aus vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt. Eines davon ist im Bild rot markiert. Die Diagonalen \(d_1\) und \(d_2\) schneiden sich im Mittelpunkt der Raute, also sind sie genau doppelt so lang, wie die Seiten \(x\) und \(y\) des roten Dreiecks.

Wie du die Diagonalen einer Raute berechnest - Abbildung 2
Die untere Seite des roten Dreiecks ist die Ankathete des angegebenen Winkels. Um die Seitenlänge zu berechnen, brauchst du die trigonometrische Formel

\(\begin{align}\cos=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\end{align}\)

wobei die Hypotenuse mit 5 cm gegeben ist.

 

Wie du die Diagonalen einer Raute berechnest - Abbildung 3
Wenn du den gegebenen Winkel einsetzt, erhältst du

\(\begin{align}\cos(25 °)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{x}{5\,\text{cm}}\end{align}\).

Mit dem Taschenrechner kannst du also die folgende Rechnung durchführen:

\(x=\cos(25 °)⋅5\,\text{cm}≈4,53\,\text{cm}.\)

Die rechte Seite des roten Dreiecks ist die Gegenkathete des angegebenen Winkels. Um diese Seitenlänge zu berechnen, brauchst du die trigonometrische Formel

\(\begin{align}\sin=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\end{align}\).

Wenn du den gegebenen Winkel einsetzt, erhältst du

\(\begin{align}\sin(25 °)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{y}{5\,\text{cm}} .\end{align}\)

Mit dem Taschenrechner kannst du also die folgende Rechnung durchführen:

\(y=\sin(25 °)⋅5\,\text{cm}≈2,11\,\text{cm}.\)

Alternativ kannst du auch den Satz des Pythagoras benutzen, um \(y\) aus \(x\) zu errechnen:

\(x^2+y^2=(5\,\text{cm})^2\)

\( \begin{align} \Rightarrow y=&\sqrt{(5\,\text{cm})^2-x^2}\\ \approx& \sqrt{25\,\text{cm}^2-20{,}53\,\text{cm}^2}\\ =& \sqrt{4{,}47\,\text{cm}^2}\\ \approx& 2{,}11\,\text{cm} \end{align}\)

Schritt 2: Diagonalen bestimmen

Jetzt musst du nur noch die in Schritt 1 berechneten Seitenlängen verdoppeln. Du erhältst als waagrechte Diagonale \(d_1=2⋅x≈9,06\,\text{cm}\)  und als senkrechte Diagonale \(d_2=2⋅y≈4,22\,\text{cm}.\)

Wie du die Diagonalen einer Raute berechnest - Abbildung 4

Lösung

\(d_1=2⋅x≈9,06\,\text{cm}\)

\(d_2=2⋅y≈4,22\,\text{cm}\)

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