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Wie du die Ähnlichkeit von zueinander ähnlichen Figuren begründest


Aufgabe

Gegeben sind die Punkte \(A(-2|1,5)\), \(B(1|0,5)\) und \(C(2|2,5)\), sowie \(D(2,5|3,5)\), \(E(7|2)\) und \(F(8|5)\). Entscheide durch Rechnung, ob die beiden Dreiecke \(ABC\) und \(DEF\) zueinander ähnlich sind.

Schritt 1: Zeichnung

Um besser zu sehen, welche Seiten der beiden Dreiecke einander entsprechen, solltest du eine Skizze anfertigen:

Wie du die Ähnlichkeit von zueinander ähnlichen Figuren begründest - Abbildung 1

Schritt 2: Berechnung der Strecken

In Schritt 2 berechnest Du die Strecken \( \overline{AB}\)\(\overline{BC}\)\(\overline{DE}\) und \(\overline{EF}\):

 

Du kannst die Kanten des kleineren Dreiecks der Länge nach ordnen:

Die kürzeste Seite ist \(\overline{BC}\), dann kommt \(\overline{AB} \) und die längste Seite ist \(\overline{AC}\).

Die entsprechenden Seiten des größeren Dreiecks sind \(\overline{EF}\), \(\overline{DE}\) und \(\overline{DF}\).

Die Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn das Verhältnis der kürzesten Seiten mit dem Verhältnis der mittleren und dem Verhältnis der längsten Seiten übereinstimmt. Um das rechnerisch nachzuprüfen, musst du die Seitenlängen ausrechnen. Dazu brauchst du den Satz des Pythagoras.

Berechne zuerst die kürzesten Seiten, also \(\overline{BC}\) und \(\overline{EF}\).

Um \(\overline{BC}\) auszurechnen, zerlegst du den Weg von \(B\) nach \(C\) in eine Teilstrecke waagrecht nach rechts und in eine Teilstrecke senkrecht nach oben:

Wie du die Ähnlichkeit von zueinander ähnlichen Figuren begründest - Abbildung 2

So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, von dem du die zwei kürzeren Seitenlängen ablesen kannst: Die waagrechte Seite ist \({1}\text{ LE}\) lang, die senkrechte \({2}\text{ LE}\). Die gesuchte Seite hat also nach dem Satz des Pythagoras die Länge

\(\overline{BC}=\sqrt{(1\text{ LE})^2+(2\text{ LE})^2}=\sqrt{5}\text{ LE}\).

Tipp: Die Längen der gestrichelten Linien kannst du auch ohne Skizze direkt aus den vorgegebenen Koordinaten der Punkte \(B(1|0,5)\) und \(C(2|2,5) \)ablesen. Die waagrechte Länge ist die Differenz der ersten Koordinaten \((2-1=1)\) und die senkrechte Länge die Differenz der zweiten Koordinaten \((2,5-0,5=2)\).

Nun zur Seite \(\overline{EF} \) des großen Dreiecks:

Die waagrechte Teilstrecke hat die Länge \(8-7=1\) (Differenz der ersten Koordinaten von \(E \) und \(F\)) und die senkrechte \(5-2=3\) (Differenz der zweiten Koordinaten von \(E\) und \(F\)). Nach dem Satz des Pythagoras ist daher

\(\overline{EF}=\sqrt{(1\text{ LE})^2+(3\text{ LE})^2}=\sqrt{10}\text{ LE}\).

 

Jetzt berechnen wir die mittleren Seiten, also \(\overline{AB} \) und \(\overline{DE}\).

Der waagrechte Abstand von \( A \) zu \(B \) ist \(1-(-2)=3\), der senkrechte Abstand \(1,5-0,5=1\). Also ist nach dem Satz des Pythagoras

\(\overline{AB}=\sqrt{(3\text{ LE})^2+(1\text{ LE})^2}=\sqrt{10}\text{ LE}\).

Um von \(D \) nach \(E\) zu gelangen, muss man \(7-2,5=4,5\) Längeneinheiten waagrecht und \(3,5-2=1,5 \) Längeneinheiten senkrecht gehen, also ist

\(\overline{DE}=\sqrt{(4,5\text{ LE})^2+(1,5\text{ LE})^2}=\sqrt{22,5}\text{ LE}\).

Schritt 3: Überprüfen der Seitenverhältnisse

Die kürzeste Seite des großen Dreiecks ist \(\sqrt{10}\text{ LE} \) lang, die entsprechende Seite des kleinen Dreiecks \(\sqrt{5}\text{ LE}\). Das Seitenverhältnis ist also

\(\frac{\sqrt{10}\text{ LE}}{\sqrt{5}\text{ LE}}=\sqrt{\frac{10}{5}}=\color{green} {\sqrt{2}}.\)

Die mittlere Seite des großen Dreiecks ist \(\sqrt{22,5}\text{ LE}\) lang und die entsprechende Seite des kleinen Dreiecks \(\sqrt{10}\text{ LE}\). Das Seitenverhältnis ist also

\(\frac{\sqrt{22,5}\text{ LE}}{\sqrt{10}\text{ LE}}=\sqrt{\frac{22,5}{10}}=\color{maroon} {\sqrt{2,25}}\).

Lösung

Das braune Seitenverhältnis stimmt nicht mit dem grünen Seitenverhältnis überein, denn

\(2,25>2\Longrightarrow\sqrt{2,25}>\sqrt{2}\).

Deswegen sind die beiden Dreiecke nicht ähnlich.

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