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Wie du die Ableitungsregeln anwendest


Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung von \(f'\).

\(f(x)=-2x^4+5x^3+8x-9+\frac{3}{x^2}\)

Schritt 1: Forme in Potenzschreibweise um

Um die Ableitungsregeln anwenden zu können, solltest du zuerst alle Brüche, in denen die Variable x im Nenner vorkommt, in Potenzschreibweise umwandeln. Dabei gilt das Potenzgesetz:

\(\color{red}{\frac{a}{x^n}=ax^{-n}}\)

Bei unserer Aufgabe musst du also den Term \(\frac{3}{x^2}\) umwandeln. Du erhältst:

\(f(x)=-2x^4+5x^3+8x-9+\color{red}{\frac{3}{x^2}}\)

         \(=-2x^4+5x^3+8x-9+\color{red}{3x^{-2}} \)

Schritt 2: Wende die Potenzregel an

Jetzt kannst du die Ableitung bilden. Dafür musst du dir zuerst überlegen, was die einzelnen Potenzen von x abgeleitet sind. Dafür brauchst du die Potenzregel:

\({f(x)=x^n\Rightarrow\color{blue}{f'(x)=nx^{n-1}}}\)

Sie bedeutet, dass der Grad von x beim Ableiten eins kleiner wird und der alte Grad als Vorfaktor vor das x gesetzt wird.

\(x^4\) ist also abgeleitet: \(\color{blue}{4x^3}\)

\(x^3\) ist abgeleitet: \(\color{blue}{3x^2}\)

\(x^{-2}\) ist abgeleitet: \(\color{blue}{-2x^{-3}}\)

\(x=x^1\) ist abgeleitet: \(\color{blue}{1x^0=1\cdot1=1}\) (Merke dir in diesem Fall einfach, dass \(\color {blue}x\) abgeleitet \(\color{blue}1\) ergibt.)

Schritt 3: Wende die Regel zum Ableiten von Konstanten an

Konstanten sind grafisch dargestellt waagerechte Geraden, die keine Steigung besitzen. Da die Ableitung die Steigung angibt, ist die Ableitung von Konstanten null.

 \(f(x)=C \Rightarrow f'(x)=0\)

In dieser Aufgabe fällt also die Konstante 9 weg.

Merke: Beim Ableiten fallen Konstanten, die mit anderen Ausdrücken addiert oder subtrahiert werden, damit immer weg.

Schritt 4: Wende die Faktor- und die Summenregel an

Die Faktorregel

\(f(x)=c \cdot g(x) \Rightarrow \color{green}{f'(x)=c \cdot g'(x)}\)

besagt, dass Vorfaktoren beim Ableiten einfach übernommen werden und die Summenregel, dass Plus- und Minuszeichen übernommen werden.

Jetzt können wir alle vier Regeln anwenden. Die Funktionsgleichung
\(f(x)=\color{green}{-2}\color{blue}{x^4}\color {darkviolet}+\color{green}5\color{blue}{x^3}\color {darkviolet}+\color{green}8\color{blue}x\color {darkred}{-9}\color {darkviolet}+\color{green}3\color{blue}{x^{-2}}\)
ergibt abgeleitet:

\(f'(x)=\color{green}{-2}\cdot \color{blue}{4x^3}\color {darkviolet}+\color{green}5\cdot \color{blue}{3x^2}\color {darkviolet}+\color{green}8\cdot \color{blue}1\color {darkviolet}+\color{green}3\cdot\color{blue}{(-2)x^{-3}}\)

Und vereinfacht:

\(f'(x)=-8x^3+15x^2+8-6x^{-3}\)

Schreibst du den letzten Ausdruck als Bruch, dann erhältst du:

\(f'(x)=-8x^3+15x^2+8-\frac{6}{x^3}\)

Lösung

\(f'(x)=-8x^3+15x^2+8-\frac{6}{x^3}\)

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