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Wie du den Verlauf der Ableitung grafisch ermittelst


Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \( ]-\infty;5]\) definierten Funktion \(f\).

Skizziere in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\). Berücksichtige dabei insbesondere einen Näherungswert für \(f'(0)\), die Nullstelle von \(f'\) und das Verhalten von \(f'\) für \(x\longrightarrow 5\).

Wie du den Verlauf der Ableitung grafisch ermittelst - Abbildung 1

 

Schritt 1: f'(0) mit Steigungsdreieck abschätzen

Der Wert von \(f'\) an der Stelle null ist die Steigung des abgebildeten Graphen im Ursprung. Um diese Steigung abzuschätzen, legst du dein Geodreieck tangential an die Kurve im Punkt \((0|0)\) an und zeichnest die Tangente ein.

Wie du den Verlauf der Ableitung grafisch ermittelst - Abbildung 2

Dann trägst du ein Steigungsdreieck ab, indem du außer dem Punkt \((0|0)\) noch einen weiteren Punkt auf der Tangente hernimmst und dessen \(x\)- und \(y\)-Koordinaten abliest.

Wie du den Verlauf der Ableitung grafisch ermittelst - Abbildung 3

Der zum \(x\)-Wert 1 gehörige Punkt auf der Tangente hat ungefähr die Koordinaten \((1|2{,}3)\), das heißt, das Steigungsdreieck (in der Skizze durch gestrichelte Linien dargestellt) hat die Höhe 2,3 LE über der Länge 1 LE. Die Steigung beträgt somit \(\frac{2{,}3\text{ LE}}{1\text{ LE}}=2{,}3\).

Daher ist \(f'(0)\approx 2{,}3\).

Schritt 2: Nullstelle von f' schätzen

Die Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) wird dort null, wo der Graph \(G_f\) eine waagrechte Tangente hat, d. h. wo ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Terrassenpunkt von \(G_f\) vorliegt. Der abgebildete Graph hat einen Hochpunkt bei ungefähr \(x=3{,}3\):

Wie du den Verlauf der Ableitung grafisch ermittelst - Abbildung 4

Deswegen ist \(f'(3{,}3)\approx0\).

Schritt 3: Verhalten von f' für x → 5 ablesen

Der Graph von \(f\) wird für \(x\nearrow 5\) unendlich steil fallend. Das bedeutet, dass

\(\lim\limits_{x\nearrow 5}f'(x)=-\infty\)

gilt.

Schritt 4: Skizze ergänzen

Mit den Informationen aus den Schritten 1 bis 3 ergibt sich folgende Skizze von \(f'\).

Wie du den Verlauf der Ableitung grafisch ermittelst - Abbildung 5

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