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Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest


Aufgabe

Ermittle jeweils Streckzentrum und Streckfaktor. Zu welchem Paar gibt es keine zentrische Streckung? Begründe. (Die Originalfiguren sind blau, die Bildfiguren rot gezeichnet.)

a)                                                                                                                                            

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 1

b)

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 2

c)

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 3

Schritt 1: Streckzentrum bestimmen

Wenn es sich um eine zentrische Streckung handelt, dann ist das Streckzentrum der Schnittpunkt der drei Geraden, die jeweils einen Eckpunkt des ursprünglichen Dreiecks mit dem entsprechenden Eckpunkt der gestreckten Figur verbinden.

a)                                                               

Welche Ecken der blauen und roten Figur sich entsprechen, ist in diesem Fall klar: Die jeweils oberen linken Ecken entsprechen sich, ebenso die jeweils unteren linken und die jeweils rechten Ecken.

Die jeweils oberen linken Ecken werden durch die folgende violette Gerade verbunden:

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 4


Genauso die jeweils unteren linken Ecken:

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 5

 

Die jeweils rechten Eckpunkte brauchst du nicht zu verbinden, denn sie liegen schon aufeinander. Der Schnittpunkt der violetten Verbindungsgeraden ist das Streckzentrum und liegt bei \((5|1)\).

b)

Hier liegt keine zentrische Streckung vor. Das erkennst du am schnellsten folgendermaßen: Jede Kante wird durch zentrische Streckung auf eine parallele Kante abgebildet. Schau dir mal die längste Seite des blauen Dreiecks an (obere linke Kante). Keine Seite des roten Dreiecks ist zu dieser Kante parallel. Also geht das rote Dreieck nicht durch zentrische Streckung aus dem blauen Dreieck hervor.

Alternative Lösung:

Wenn du nicht weißt, ob zwei Figuren durch zentrische Streckung auseinander hervorgehen oder nicht, dann kannst du das immer feststellen, indem du die gleiche Konstruktion wie bei a) durchführst, um das Streckzentrum zu suchen. Wenn sich die Verbindungsgeraden der sich entsprechenden Ecken nicht in einem Punkt schneiden, dann liegt keine zentrische Streckung vor.

Wir führen diesen (deutlich längeren) Lösungsweg jetzt in aller Ausführlichkeit vor.

Die obere Ecke des blauen Dreiecks entspricht der rechten Ecke des roten Dreiecks, denn nur so ist gewährleistet, dass die sich entsprechenden Innenwinkel übereinstimmen. Zeichne die Verbindungsgerade ein:

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 6

Die untere rechte Ecke des blauen Dreiecks entspricht der unteren linken Ecke des roten Dreiecks (denn nur an diesen Ecken gibt es rechte Winkel). Die Verbindungsgerade ist genau die \(y\)-Achse:

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 7

Die untere linke Ecke des blauen Dreiecks entspricht der oberen Ecke des roten Dreiecks und die zugehörige Verbindungsgerade ist die \(x\)-Achse:

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 8

Die braun eingetragenen Schnittpunkte der Verbindungsgeraden stimmen nicht überein: Einer liegt bei \((0|5)\), der andere bei \((3,125|0)\). Deswegen liegt hier keine zentrische Streckung vor.

c)

Tasten wir uns vom kleinsten bis zum größten Winkel des blauen Dreiecks vor: Der kleinste liegt an der unteren Ecke und entspricht der oberen Ecke des roten Dreiecks. Die Verbindungsgerade dieser beiden Ecken ist die \(y\)-Achse:

 

 Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 9

Der nächstgrößere Winkel im blauen Dreieck liegt an der oberen linken Ecke, die wiederum der unteren rechten Ecke des roten Dreiecks entspricht. Die Verbindungsgerade ist die \( x\)-Achse.
Schließlich entsprechen sich noch die Ecken mit dem rechten Winkel, aber die liegen schon aufeinander. Alle Verbindungsgeraden schneiden sich also im Koordinatenursprung (braunes Kreuz). Es liegt hier also eine zentrische Streckung mit Streckzentrum \((0|0)\) vor.

Wie du den Streckfaktor und das Streckzentrum findest - Abbildung 10

Schritt 2: Streckfaktor k bestimmen

Der Streckfaktor \(k \) enthält zwei Informationen:

  1. |k| gibt für jede Kante der Figur das Längenverhältnis der Bildstrecke zur ursprünglichen Strecke an.
  2. Das Vorzeichen von k gibt an, ob Figur und Bildfigur auf der gleichen Seite des Streckzentrums liegen \((k>0)\) oder auf gegenüberliegenden Seiten \((k<0)\).

a)

Hier vergleichen wir am einfachsten die jeweils linken Kanten, denn deren Längen können wir direkt ablesen (Um die Längen der anderen Kanten zu berechnen, wäre der Satz des Pythagoras nötig.). Beim blauen Dreieck geht die linke Kante von \(–1\) bis \(4\), hat also die Länge \({5}\text{ LE}\). Beim roten Dreieck geht die linke Kante von \(0\) bis \(2,5\), sie hat also die Länge \({2,5}\text{ LE}\).

Das Längenverhältnis ist also \(\frac{\text{neue Länge}}{\text{alte Länge}}=\frac{2,5\text{ LE}}{5\text{ LE}}=0,5\Longrightarrow |k|=0,5\).

Beide Dreiecke (blau und rot) liegen auf der gleichen Seite des Streckzentrums \((5|1)\) (nämlich zur linken), also ist \(k>0\).

Somit ist der Streckfaktor \(k=0,5\).

b)

Hier liegt (wie oben bemerkt) keine zentrische Streckung vor.

c)

Hier vergleichen wir am einfachsten die kürzesten Seiten der Dreiecke, denn deren Längen können wir direkt ablesen. Beim blauen Dreieck geht die kürzeste Seite von \(–4\) bis \(0\), hat also die Länge \({4}\text{ LE}\). Beim roten Dreieck geht sie von \(0\) bis \(2\), hat also die Länge \({2}\text{ LE}\).

Das Längenverhältnis ist also \(\frac{\text{neue Länge}}{\text{alte Länge}}=\frac{2\text{ LE}}{4\text{ LE}}=0,5\Longrightarrow |k|=0,5\).

Die beiden Dreiecke liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Streckzentrums \((0|0)\), also ist \(k<0\).

Somit ist der Streckfaktor \(k=-0,5\).

 

Bemerkung

Manchmal heißt es nicht "ermittle das Streckzentrum", sondern "gib das Streckzentrum an". In diesem Fall könntest du dir die Konstruktion mit den Verbindungsgeraden sparen. Bei a) und c) haben nämlich Figur und Bildfigur einen Punkt gemeinsam, was bei einer zentrischen Streckung nur im Streckzentrum der Fall sein kann. Dass bei b) keine zentrische Streckung vorliegt, kann man auch daran erkennen, dass das rote Dreieck im Vergleich zum blauen um \(90 °\) gedreht ist. Bei einer zentrischen Streckung kommen nur Streckung und Punktspiegelung vor, keine Drehung um \(90 °\).

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