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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Streckfaktor einer Parabel bestimmst

Aufgabe

Der Scheitel einer Parabel hat die erste Koordinate \(3\), sie ist nach oben geöffnet und mit Faktor \(1,5\) gestreckt. Zeichne eine solche Parabel.

Wie lautet ihre Gleichung, wenn sie nur einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse besitzt?

Schritt 1: Zeichnen

Für die Zeichnung gehst du vom Scheitelpunkt aus. Über die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts wird zunächst noch nichts vorausgesetzt, die kannst du für deine Zeichnung beliebig wählen, beispielsweise \(0\).

In der Zeichnung trägst du also als Erstes den Scheitelpunkt \((3|0)\) ein.

Weitere Punkte auf dem rechten Ast des Parabelbogens bekommst du wie folgt:

  • Berechne \(\color{green} {1 }^2 \)und multipliziere mit dem Betrag des Streckfaktors \(1,5\): Das ergibt \(\color{green} {1 }^2 \cdot 1,5=\color{maroon} {1,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {1 }\) Einheit nach rechts und \(\color{maroon} {1,5 }\) Einheiten nach oben (weil die Parabel nach oben geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \(\color{green} {2}^2 \) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(1,5\): Das ergibt \(2^2\cdot 1,5=\color{maroon} {6}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {2} \) Einheiten nach rechts und \(\color{maroon} {6}\) Einheiten nach oben (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.

Weitere Punkte auf dem linken Ast des Parabelbogens bekommst du wie folgt:

  • Berechne \(\color{green} {1 }^2 \) und multipliziere mit dem Betrag des Streckfaktors\(1,5\): Das ergibt \(1^2\cdot 1,5=\color{maroon} {1,5}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {1 }\) Einheit nach links und \(\color{maroon} {1,5 }\) Einheiten nach oben (weil die Parabel nach oben geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.
  • Berechne \(\color{green} {2}^2 \) und multipliziere mit dem Betrag des Stauchfaktors \(1,5\): Das ergibt \(2^2\cdot 1,5=\color{maroon} {6}\).
    Gehe vom Scheitelpunkt aus \(\color{green} {2}\) Einheiten nach links und \(\color{maroon} {6}\) Einheiten nach oben (weil die Parabel nach unten geöffnet ist).
    Trage hier den nächsten Punkt ein.

Das Ergebnis sieht wie folgt aus:

 

Wie du den Streckfaktor einer Parabel bestimmst - Abbildung 1

Diese Punkte verbindest du jetzt mit einer durchgezogenen Linie:

 

Wie du den Streckfaktor einer Parabel bestimmst - Abbildung 2

Schritt 2: Gleichung angeben

Es gibt zwei wichtige Formen von Parabelgleichungen:

allgemeine Form: \(y=ax^2+bx+c\),

Scheitelpunktform: \(\color{green} {y=a\cdot(x-x_S)^2+y_S}\).

Der Koeffizient \(a \) in der allgemeinen Form entspricht genau dem Streckfaktor \(a\) in der Scheitelpunktform. Es liegt nahe, die gesuchte Gleichung in Scheitelpunktform zu bestimmen, da in der Aufgabenstellung der Scheitelpunkt (wenn auch verklausuliert) gegeben ist.

Du musst also zur Aufstellung einer Gleichung in Scheitelpunktform drei Zahlen ausfindig machen:

  1. den Streckfaktor \(a\)
  2. die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \((x_S)\)
  3. die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \((y_S)\)

Den Streckfaktor bestimmst du aus zwei Angaben: Zum einen wird gesagt, dass die Parabel eine um den Faktor \(1,5\) gestreckte Normalparabel ist. Das bedeutet, dass der Streckfaktor den Betrag \(1,5 \) hat:

\(|a|=1,5\)

Ferner bekommen wir die Information, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Das bedeutet, dass der Streckfaktor positiv ist.

Also ist \(a=|a|=1,5\).

Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist direkt gegeben: \(x_S=3\). Um die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts herauszufinden, musst du beachten, dass es laut Aufgabenstellung nur einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gibt. Die Parabel berührt die \(x\)-Achse nur in einem Punkt und dieser Punkt kann nur der Scheitelpunkt sein (sonst gäbe es auf dem anderen Parabelast noch einen Schnittpunkt). Die \(x \)-Achse hat die Gleichung \(y=0\). Wenn also der Scheitel auf der \(x\)-Achse liegt, dann ist seine \(y\)-Koordinate null: \(y_S=0\).

Jetzt kennst du alle Parameter, die du für die Scheitelpunktform brauchst:

\(a=1,5\)

\(x_S=3\)

\(y_S=0\)

Einsetzen in die grüne Formel liefert

Scheitelpunktform: \(y=1,5\cdot(x-3)^2\).

Falls dein Lehrer keine Klammer mag, kannst du diese Gleichung noch in die allgemeine Form umwandeln (am besten mit der zweiten binomischen Formel):

\(1,5\cdot(x-3)^2=1,5\cdot(x^2-6x+9)=1,5x^2-9x+13,5\).

Lösung

Also lautet die Parabelgleichung

\(y=1,5x^2-9x+13,5\).

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