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Wie du den Schnittwinkel zweier Geraden berechnest


Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(10|2|0)\), \(B(10|8|0)\), \(C(10|4|3)\), \(R(2|2|0)\), \(S(2|8|0)\) und \(T(2|4|3)\) gegeben. Der Körper \(ABCRST\) ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche \(ABC\), der Deckfläche \(RST\) und rechteckigen Seitenflächen.

Wie du den Schnittwinkel zweier Geraden berechnest - Abbildung 1

Berechne die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten [\(CA\)] und [\(CB\)] einschließen.

Schritt 1: Richtungsvektoren der Geraden CA und CB bestimmen

Der Winkel zwischen den Kanten [\(CA\)] und [\(CB\)] ist dasselbe wie der Schnittwinkel der beiden Geraden \(AC\) und \(BC\). Um diesen zu berechnen, musst du die Richtung der Kanten bzw. Geraden durch Vektoren darstellen, das heißt, du brauchst die beiden Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CB}\).

\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}10\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-3\end{pmatrix}\) und

\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}10\\8\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren anwenden

Der gesuchte Winkel ist der spitze Winkel zwischen den beiden Vektoren \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CB}\). Allgemein gilt für den spitzen Winkel \(\varphi\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\):

\(\cos(\varphi)=\left|\frac{\vec{v}\circ\vec{w}}{\left|\vec{v}\right|\cdot\left|\vec{w}\right|}\right|\)

Einsetzen von \(\vec{v}=\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-3\end{pmatrix}\) und \(\vec{w}=\overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\) liefert:

\(\begin{align*} \cos(\varphi)&=\left|\frac{\begin{pmatrix}0\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\-3\end{pmatrix} \right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\right|}\right|\\ &=\left|\frac{0\cdot 0+(-2)\cdot 4+(-3)\cdot(-3)}{\sqrt{0^2+(-2)^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{0^2+4^2+(-3)^2}}\right|\\ &=\left|\frac{1}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{25}}\right|\\ &=\frac{1}{5\sqrt{13}} \end{align*}\)

Der Taschenrechner liefert jetzt:

\(\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{1}{5\sqrt{13}}\right)\approx 86{,}82^{\circ}\)

Die Seitenkanten [\(CA\)] und [\(CB\)] schließen einen Winkel von etwa 86,8° ein.

Bemerkung

Sollte einmal ein Winkel gefragt sein, der nicht spitz ist (d. h., der größer als 90° ist), dann musst du den Winkel, den dir die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren liefert, von 180° abziehen, um den gesuchten Winkel zu bekommen.
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