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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Schnittwinkel zweier Ebenen bestimmst

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene \(E:3x_2+x_3=8 \). Berechne den Winkel, den die Ebene \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

Schritt 1: Normalenvektoren der Ebenen bestimmen

Um Winkel zwischen Ebenen zu berechnen, brauchst du zu jeder der beiden Ebenen einen Normalenvektor. Ein Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene ist \(\vec{n_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\); das musst du auswendig wissen.

Einen Normalenvektor von \(E\) kannst du aus der Koordinatengleichung ablesen: Der Koeffizient von \(x_1\) in der Gleichung \(E:3x_2+x_3=8\) ist 0, da \(x_1\) in der Gleichung nicht vorkommt. Der Koeffizient von \(x_2\) ist 3. Der Koeffizient von \(x_3\) ist 1. Diese drei Zahlen 0, 3 und 1 bilden einen Normalenvektor der Ebene:

\(\vec{n_E}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren anwenden

Der Schnittwinkel \(\alpha\) der beiden Ebenen stimmt überein mit dem Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren.

 

Wie du den Schnittwinkel zweier Ebenen bestimmst - Abbildung 1

 

In unserem Fall sind die Normalenvektoren \( \vec{n_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n_E}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\). Die Formel für den Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) lautet im Allgemeinen \(\cos(\alpha)=\left|\frac{\vec{v}\circ\vec{w}}{\left|\vec{v}\right|\cdot\left|\vec{w}\right|}\right|\).

Einsetzen von \( \vec{n_3}\) für \(\vec{v}\) und \(\vec{n_E}\) für \( \vec{w}\) liefert:

\(\begin{align*} \cos(\alpha)&=\left|\frac{\vec{n_3}\circ\vec{n_E}}{\left|\vec{n_3}\right|\cdot\left|\vec{n_E}\right|}\right|\\ &=\left|\frac{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\right|}\right|\\ &=\left|\frac{0\cdot 0+0\cdot 3+1\cdot 1}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{0^2+3^2+1^2}}\right|\\ &=\left|\frac{1}{\sqrt{10}}\right|\\ &=\frac{1}{\sqrt{10}} \end{align*}\)

Lösung

Mit dem Taschenrechner ergibt sich daraus \(\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\approx 71{,}57^{\circ}\). Der Winkel, den die Ebene \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt, beträgt also knapp 72°.

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