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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Satz von Vieta anwendest

Aufgabe

Bestimme die Lösung der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.

\(\begin{align}x^2 -x-12=0 \end{align}\)

Hinweis

Der Satz von Vieta hat den Vorteil, dass du damit viele quadratische Gleichungen ganz einfach ohne Taschenrechner im Kopf lösen kannst. In dieser Aufgabe wird seine Anwendung direkt gefordert, bei anderen Aufgaben musst du selbstständig erkennen, dass der Satz von Vieta das günstigste Lösungsverfahren ist. Das ist besonders bei ganzzahligen, nicht zu großen \(p\) und \(q\) der Fall. Der Satz des Vieta spart dir die Anwendung der Mitternachtsformel oder pq-Formel und damit unnötiges Wurzelziehen.

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in ihrer sogenannten  „Normalform\((x^2+px+q) \) vorliegen.

Der Satz von Vieta stellt folgenden Zusammenhang her zwischen den Koeffizienten \(p\) und \(q\) und den beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) einer quadratischen Gleichung:

\(\begin{alignat}{2}&x_{1}+x_{2}&&=-p \\ &x_{1}\cdot x_{2}&&=q \end{alignat}\)

Schritt 1: p und q bestimmen

\(\begin{align}x^2 -x-12=0 \end{align}\)

\(q\): In unserer vorliegenden Gleichung können wir q sehr leicht bestimmen, das ist \(–12\).

\(p\): Vor dem \(x \) steht zwar kein Koeffizient, aber \( –x \) bedeutet ja nichts anderes als \(-1\cdot x\). Also ist \(p=-1\) und damit \(-p=1\).

Zu lösen sind also die zwei Gleichungen
\(\begin{alignat}{2}&x_{1}+x_{2}&&=1\quad\text{ und}\\ &x_{1}\cdot x_{2}&&=-12.\end{alignat}\)

Schritt 2: -12 in alle möglichen Faktoren zerlegen

Die erste Gleichung, \(x_{1}+x_{2}=1\), hat unendlich viele ganzzahlige Lösungen, fange also lieber mit der zweiten an. Dazu zerlegst du \(–12\) in alle möglichen Faktoren. Das heißt, du überlegst dir, welche zwei Zahlen multipliziert \(–12\) ergeben.
\(\begin{align}-12=(-1)&\cdot 12 \\ (-2)&\cdot 6\\ (-3)&\cdot 4\\ (-4)&\cdot 3 \\ (-6)&\cdot 2 \\ (-12)&\cdot 1 \end{align} \)

Schritt 3: Faktorenpaar suchen, das addiert 1 ergibt

Jetzt überprüfst du die erste Bedingung, nämlich \(x_{1}+x_{2}=1.\)

Das heißt, du suchst unter den ermittelten Faktorenpaaren dasjenige, das addiert \(1\) ergibt.

Das ist für \((–3)+4 \) der Fall.

Tipp: Du musst die Schritte 2 und 3 natürlich nicht getrennt durchführen. Geschickter ist, immer nachdem du ein Faktorenpaar gefunden hast, zu prüfen, ob die Addition der beiden Zahlen \(–p\) ergibt. Wenn du ein solches Paar gefunden hast, brauchst du keine weiteren Faktorisierungen von \(q \) zu suchen, sondern kannst gleich die Lösungsmenge angeben.

Schritt 4: Lösungen angeben

Nachdem du das Zahlenpaar ermittelt hast, das multipliziert \(q\) und addiert \(–p\) ergibt, kannst du die Lösungen der Gleichung angeben:

\(\begin{align}x_{1}=-3\end{align}\)

\(\begin{align}x_{2}=4\end{align}\)

Probe machen

Wenn du noch genügend Zeit hast, kannst du deine ermittelten \(x\)-Werte noch überprüfen, indem du sie in die Gleichung einsetzt:

\(x1: \begin{align}(-3)^2 -(-3)-12 =0\end{align}\)

\(x2: \begin{align}4^2 -4-12 =0\end{align} \)      

Nachdem beide Gleichungen stimmen, kannst du ruhigen Gewissens deine Lösungsmenge angeben.

Lösung

\(\mathbb{L}=\{–3;4\}\)

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