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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest

Aufgabe

Die Länge der Grundflächendiagonale einer geraden quadratischen Pyramide beträgt 7,1 cm. Die Seitenkante der Pyramide ist 6,9 cm lang. Berechne den Oberflächeninhalt.

Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest - Abbildung 1

Hinweis:

Gefragt ist nach der Oberfläche der Pyramide. Überlege dir also zuerst, wie sich die Oberfläche zusammensetzt und welche Größen du brauchst, um sie zu berechnen. Hierbei setzt du den Satz des Pythagoras gezielt ein.

Schritt 1: Fläche in einfache Teilflächen zerlegen

Neben der quadratischen Grundfläche G hat die Pyramide vier dreieckige Seitenflächen D. Diese sind alle gleich groß, da es sich um eine gerade Pyramide handelt. Also ist

\(A=A_G+4⋅A_D,\)

wobei \(A_D\) den Flächeninhalt einer Seitenfläche und \(A_G\) den Flächeninhalt der Grundfläche bezeichnet.

Um den Inhalt der Gesamtoberfläche \(A\) zu berechnen, musst du also zuerst \(A_G\) und \(A_D\) bestimmen.

Schritt 2: Grundfläche berechnen

Skizze der Grundfläche:

Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest - Abbildung 2

Die übliche Formel zur Berechnung einer Quadratfläche mit Seitenlänge \(g\) ist \(A_G=g⋅g=g^2.\) Aber \(g\) ist nicht gegeben.

Du musst \(g\) also berechnen. In der Skizze unten siehst du, dass du in der Quadratfläche ein rechtwinkliges Dreieck findest, das rot eingezeichnet ist.

\(g\) berechnest du also mit dem Satz des Pythagoras. 

Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest - Abbildung 3

Im roten rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse bekannt (7,1 cm) und die beiden Katheten haben jeweils die Länge \(g\).

Der Satz des Pythagoras besagt, dass

\(g^2+g^2=(7,1cm)^2 \) ist.

Diese Gleichung kannst du jetzt nach \(g^2\) auflösen:

\(g^2+g^2=(7,1cm)^2\)

\(⟺2g^2=50,41cm^2\)

\(⟺g^2=25,205cm^2\)

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt 5,02 cm.

Schritt 3: Dreiecksflächen berechnen

Nun zu den dreieckigen Seitenflächen – sie sind gleichschenklig mit der Grundseite \(g\):

Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest - Abbildung 4
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet \(A_D=1/2⋅g⋅h\), wobei \(g\) die Grundseite des Dreiecks (hier zugleich die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche der Pyramide) und \(h\) die Höhe des Dreiecks ist.

Die Seite \(g\) hast du in Schritt 1 schon berechnet. Wenn nicht, dann berechne sie jetzt:

\(g=\sqrt{g^2}=\sqrt{25,205 cm^2}≈5,02 cm^2\)

\(h\) ist unbekannt, kann aber wiederum über den Satz des Pythagoras berechnet werden. 

Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest - Abbildung 5

Um \(h\) zu bestimmen, betrachtest du die rechte Hälfte des Dreiecks:

 

 Wie du den Satz des Pythagoras bei Pyramidenberechnungen anwendest - Abbildung 6
Diese ist wiederum ein Dreieck, und zwar mit einem rechten Winkel unten links.

Jetzt kannst du wieder den Satz des Pythagoras anwenden:

\((0,5⋅g)^2+h^2=(6,9 cm)^2\)

Jetzt musst du nach \(h\) auflösen:

\(h^2=(6,9cm)^2-0,25g^2\)

\(⟺h=\sqrt{(6,9cm)^2-0,25g^2}\)

Beachte, dass wir \(g^2\) oben schon exakt ausgerechnet haben. Den Wert \(g^2=25,205cm^2\) kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen. Du erhältst

\(h=\sqrt{47,61cm^2-0,25⋅25,205cm^2}=\sqrt{41,30875cm^2}≈6,43 cm.\)

Das Einsetzen der Werte für \(g\) und \(h\) in die Formel für \(A_D\) liefert

\(A_D=1/2⋅g⋅h≈0,5⋅5,02cm⋅6,43cm=16,1319cm^2.\)

Schritt 4: Teilflächen zusammenzählen

Wie wir am Anfang schon gesehen haben, setzt sich die Pyramidenoberfläche aus fünf Teilflächen zusammen: einmal die Grundfläche \(A_G\) und viermal die Dreiecksfläche \(A_D\), d. h.

\(A=A_G+4⋅A_D≈25,205 cm^2+4⋅16,1319 cm^2=89,725 cm^2\)

Lösung

\(A≈89,73 cm^2\)

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt \(89,73 cm^2\).

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