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Wie du den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnest


Aufgabe

Bestimme die Oberfläche von folgendem zusammengesetzten Körper:

Wie du den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnest - Abbildung 1

Als Hilfe sind ein Aufriss und ein Seitenriss gegeben. Alle Angaben in cm.

Wie du den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnest - Abbildung 2Wie du den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnest - Abbildung 3

Schritt 1: Zerlege den Körper in Einzelkörper

Wenn du die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers berechnen willst, musst du ihn als Erstes in seine Einzelkörper zerlegen. Dieser Körper besteht aus einem Quader, einem Zylinder und einem Kegel.

Schritt 2: Berechne die Oberfläche aller Einzelkörper

Nun berechnest du jeweils die Oberfläche der Einzelkörper.

1. Quader

Aus dem Seitenriss und dem Aufriss kannst du herauslesen, dass der Quader eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge \(a=5 \ cm\) besitzt. Seine Höhe ist \(h=2 \ cm\). Es ergibt sich die Oberfläche:

\(A_Q=2 \cdot a \cdot a + 4 \cdot a \cdot h = 2 \cdot 5 \ cm \cdot 5 \ cm + 4 \cdot 5 \ cm \cdot 2 \ cm = 90 \ cm^2\)

2. Zylinder

Der Zylinder hat einen Radius von \(r=2 \ cm\) und eine Höhe von \(h=1 \ cm\). Seine Mantelfläche ist:

\(A_M= h \cdot 2 \cdot \pi \cdot r = 1 \ cm \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2 \ cm \approx 12,57 \ cm^2\)

Seine beiden Grundflächen haben jeweils die Fläche:

\(A_G= r^2 \cdot \pi = (2 \ cm)^2 \cdot \pi \approx 12,57 \ cm^2\)

Also hat der Zylinder die Oberfläche:

\(A_Z= A_M + 2 \cdot A_G = 12,57 \ cm^2 + 2 \cdot 12,57 \ cm^2 =37,31\ cm^2\)

3. Kegel

Der Kegel hat einen Radius von \(r=2 \ cm\) und eine Höhe von \(h=2 \ cm\). Die Oberfläche seines Mantels ist \(A_M=r \cdot s \cdot \pi\), wobei gilt:

\(s= \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2 \ cm)^2+(2 \ cm)^2} = \sqrt {8 \ cm^2}= 2,83 \ cm\)

Also gilt:

\(A_M=2 \ cm \cdot 2,83 \ cm \cdot \pi \approx 17,78 \ cm^2\)

Zählt man die Grundfläche

\(A_G= r^2 \cdot \pi = (2 \ cm)^2 \cdot \pi \approx 12,57\ cm^2\)

dazu, ergibt sich für den Kegel die Oberfläche:

\(A_K= A_M + A_G=17,78 \ cm^2 + 12,57 \ cm^2 =30,35 \ cm^2\)

Schritt 3: Berechne die Gesamtoberfläche

Um nun die Gesamtoberfläche zu berechnen, musst du erst die Oberflächen aller Einzelkörper addieren und danach jeweils zweimal die Berührflächen abziehen, denn: Immer dort, wo sich zwei Körper berühren, hast du die Berührfläche „zweimal zu viel dazugezählt“. Das kannst du bei allen zusammengesetzten Körpern so machen.

Die Berührfläche ist an beiden Stellen ein Kreis mit Radius \(r=2 \ cm\). Seine Fläche ist:

\( A_{Berührkreis} = r^2 \cdot \pi = (2 \ cm)^2 \cdot \pi \approx 12,57\ cm^2\)

Du musst diesen Kreis insgesamt viermal abziehen.

Es ergibt sich:

\(A_{ges}= A_Q + A_Z + A_K - 4 \cdot A_{Berührkreis} \\ = 90 \ cm^2 + 37,31 \ cm^2 + 30,35 \ cm^2 - 4 \cdot 12,57 \ cm^2 \\ = 157,66 \ cm^2 - 50,28 \ cm^2 \\ = 107,38 \ cm^2\)

Lösung

\(A_{ges} = 107,38 \ cm^2\)

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