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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Funktionsterm quadratischer Funktionen aus dem Graphen herleitest

Aufgabe

Bestimme die Gleichungen der beiden Parabeln \(p_1 \)und \(p_2\).

 

Wie du den Funktionsterm quadratischer Funktionen aus dem Graphen herleitest - Abbildung 1 

Betrachte zuerst den blauen Graphen, um den Funktionsterm \(p_1\) zu bestimmen.

Schritt 1: Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen

Laut Aufgabenstellung handelt es sich bei \(p_1\) und \(p_2 \)um Parabeln, also um die Graphen zweier quadratischer Funktionen. Die Gleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform sieht immer so aus:

\(p(x)=a\cdot(x-x_S)^2+y_S\),

wobei a der Streckfaktor und \(\left(x_S|y_S\right)\) der Scheitelpunkt ist. Um eine solche Gleichung anhand eines Graphen zu bestimmen, musst du also zum einen die Scheitelpunktkoordinaten ablesen, und zum anderen einen weiteren Punkt ablesen, um den Streckfaktor zu bestimmen.

Der Scheitelpunkt des blauen Graphen ist \((-4|0)\).

Damit lautet die Scheitelpunktform der Funktion \(p_1\)

\(\color{green} {​ p_1(x)}=a_1\cdot(x-(-4))^2+0=\color{green}{a_1\cdot(x+4)^2}\)

für irgendeine Zahl \(a_1\), die wir noch bestimmen müssen.

Schritt 2: Streckfaktor bzw. Stauchfaktor a bestimmen

Die blaue Kurve geht noch durch den Punkt \((0|-4)\), den man gut ablesen kann. Das bedeutet, dass \(p_1(0)=-4\) ist. Laut der grünen Gleichung aus Schritt 1 ist aber auch

\(p_1(0)=a_1\cdot(0+4)^2\).

Also folgt \(a_1\cdot(0+4)^2=-4\). Diese Gleichung löst du nach \(a_1\) auf:

\(a_1\cdot 16=-4\Longrightarrow a_1=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}\).

Schritt 3: Funktionsgleichung aufstellen

Jetzt kannst du aus der grünen Formel durch Einsetzen des eben bestimmten Faktors \(a_1=-\frac{1}{4} \)die Funktionsgleichung von \(p_1\) aufstellen:

\(p_1(x)=-\frac{1}{4}\cdot(x+4)^2\).

Lösung für die blaue Parabel

Wenn du die Klammer ausmultiplizierst, kommst du auf

\(p_1(x)=-\frac{1}{4}x^2-2x-4.\)

Nun zur roten Parabel:

Schritt 1: Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen

Der Scheitelpunkt des roten Graphen ist \((0|-3)\).

Damit lautet die Scheitelpunktform der Funktion \(p_2\)

\(\color{green} {p_2(x)}=a_2\cdot(x-0)^2-3=\color{green}{a_2\cdot x^2-3}\)

für irgendeine Zahl \(a_2\), die wir noch bestimmen müssen.

Schritt 2: Streckfaktor bzw. Stauchfaktor a bestimmen

Die rote Kurve geht noch durch den Punkt \((2|1)\), den man einigermaßen gut ablesen kann. Das bedeutet, dass \(p_2(2)=1\) ist. Laut der grünen Gleichung aus Schritt 1 ist aber auch

\(p_2(2)=a_2\cdot 2^2-3\).

Also folgt \(a_2\cdot 2^2-3=1\). Diese Gleichung löst du nach \( a_2\) auf:

\(a_2\cdot 4-3=1\Longrightarrow a_2\cdot 4=4\Longrightarrow a_2=\frac{4}{4}=1\).

Schritt 3: Funktionsgleichung aufstellen

Jetzt kannst du aus der grünen Formel durch Einsetzen des eben bestimmten Faktors \(a_2=1\) die Funktionsgleichung von \(p_2 \) aufstellen:

Lösung für die rote Parabel

\(p_2(x)=1\cdot x^2-3=x^2-3.\)

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