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Wie du den Betrag eines Vektors berechnest


Aufgabe

Berechne die Länge des Vektors \(\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\6\end{array}\right)\).

Hinweis

Um die Länge eines Vektors zu bestimmen, musst du den Betrag des Vektors berechnen.

Schritt 1: Setze die Koordinaten des Vektors in die Betragsformel ein

Die Formel für den Betrag eines allgemeinen Vektors \(\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\) lautet:

\(\left|\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Die Koordinaten des Vektors werden also erst quadriert und dann addiert. Von diesem Ergebnis wird schließlich die Wurzel gezogen.

Das heißt, in diesem Fall gilt:

\(\left|\left(\begin{array}{c}2\\-3\\6\end{array}\right)\right|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}\)

Schritt 2: Berechne die Wurzel

Jetzt musst nur noch die Wurzel ausrechnen.

\(\left|\left(\begin{array}{c}2\\-3\\6\end{array}\right)\right|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\)

Der Vektor ist also 7 Längeneinheiten lang.

Lösung

Der Vektor ist 7 Längeneinheiten lang.

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