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Wie du den Abstand von zwei Punkten bestimmst


Aufgabe

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A(5|1|−1) und B(3|4|−7).

Schritt 1: Berechne den Vektor zwischen den Punkten

In Schritt 1 berechnest du den Vektor zwischen den Punkten A und B, indem du zunächst die Ortsvektoren der beiden Punkte aufstellst:

\(\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\-1\end{array}\right)\)\(\overrightarrow{B}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\-7\end{array}\right)\)

und diese Vektoren dann nach der Regel „Spitze minus Fuß“ voneinander abziehst.

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\-7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\-6\end{array}\right)\)

Schritt 2: Berechne den Betrag dieses Vektors

Da der Betrag eines Vektors seine Länge angibt, kannst du den Abstand der beiden Punkte berechnen, indem du den Betrag von \(\overrightarrow{AB}\) berechnest.

\(|\overrightarrow{AB}|=\left|\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\-6\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-6)^2}=\sqrt{49}=7\)

Lösung

Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 7 Längeneinheiten.

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