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Wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnest


Aufgabe

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck \(ABCD\) liegt in einer Ebene \(E\) und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

Wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnest - Abbildung 1

Berechne den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\).

[Hinweis: \(E:x_2+2x_3-8=0\)]

Schritt 1: Hessesche Normalform der Ebene bestimmen

Gegeben ist eine Koordinatengleichung von \(E\), die du als Erstes durch den Betrag des zugehörigen Normalenvektors teilen musst, um die hessesche Normalform der Ebene zu bekommen. Aus der vorgegebenen Gleichung

\(E:x_2+2x_3-8=0\)

liest du den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\) ab (die Komponenten des Normalenvektors sind die Koeffizienten der drei Variablen \( x_1, x_2\) und \(x_3\) in der Gleichung). Dieser Vektor hat den Betrag:

\(|\vec{n}|=\left|\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{5}\)

Durch diese Zahl musst du die Ebenengleichung teilen.

\(E:\frac{x_2+2x_3-8}{\sqrt{5}}=0\)

Jetzt handelt es sich um die hessesche Normalform.

Schritt 2: Koordinaten des Punktes einsetzen

Wenn die Ebenengleichung in hessescher Normalform vorliegt, kannst du den Abstand jedes beliebigen Punktes von der Ebene ganz einfach berechnen. Du setzt dazu die Koordinaten des Punktes in die linke Seite der Ebenengleichung ein und nimmst dann den Betrag. In diesem Fall hat der fragliche Punkt die Koordinaten R(3|0|0), also ist der Abstand zu E:

\(\begin{align*} d(E,R)&=\left|\frac{0+2\cdot 0-8}{\sqrt{5}}\right|\\ &=\left|\frac{-8}{\sqrt{5}}\right|\\ &=\frac{8}{5}\sqrt{5}\\ &\approx 3,578 \end{align*}\)
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