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Wie du das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnest


Aufgabe

Ein Künstler hat ein Vogelbad aus Eichenholz hergestellt. Es besteht aus einer Säule mit quadratischer Grundfläche, auf die eine halbkugelförmige Schale aufgesetzt ist.

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnest - Abbildung 1

Die Säule ist 30 cm breit und 1 m hoch. Die Schale hat einen Außendurchmesser von 40 cm und einen Innendurchmesser von 35 cm.

Wie schwer ist das Vogelbad, wenn die Rohdichte von Eiche \(670\ \frac{kg}{m^3}\) beträgt?

Schritt 1: Bestimme die einzelnen Volumenformeln

Die Schale besteht aus einer Halbkugel, aus der eine weitere Halbkugel herausgearbeitet wurde. Du musst die Volumenformel für Kugeln benutzen.

\(V_K= \frac{4}{3} \pi r^3\)

\(V_{HK1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3\)

\(V_{HK2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3\)

Die Volumenformel für die Schale lautet also:

\(V_{Schale}=V_{HK2}-V_{HK1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3-\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3\)

\(V_{Schale}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi( r_2^3- r_1^3)\)

Das Volumen der Säule berechnest du mit der Volumenformel für Quader.

\(V_Q= a \cdot b \cdot h\)

\(V_{Säule}= a \cdot b \cdot h=a^2h\)

Schritt 2: Berechne die einzelnen Volumen

Setze die gegebenen Werte in die Volumenformeln ein.

\(V_{Schale}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi( r_2^3- r_1^3) =\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi( (40 \ cm)^3- (35 \ cm)^3) \)

\(V_{Schale}= \frac{2}{3} \pi( 64.000 \ cm^3- 42.875 \ cm^3) =\frac{42.250}{3} \pi \ cm^3\)

\(V_{Schale}\approx 44.244,1 \ cm^3\)

\(V_{Säule}=a^2h=(30 \ cm)^2 \cdot 100 \ cm=90.000 \ cm^3\)

Schritt 3: Berechne das Gesamtvolumen

Du musst jetzt nur noch das Volumen der Schale und das Volumen der Säule addieren.

\(V_{G}=V_{Schale}+V_{Säule}\approx 44.244,1 \ cm^3 + 90.000 \ cm^3 =134.244,1 \ cm^3\).

Schritt 4: Berechne die Masse

Für die Dichte gilt:

\(Dichte=\frac{Masse}{Volumen}\)

Aufgelöst nach der Masse ergibt sich dann:

\(Masse=Dichte \cdot Volumen\) 

Nun kannst du die Werte einsetzen. Beachte dabei die Einheiten.

 \(m=134.244,1 \ cm^3 \cdot 670\ \frac{kg}{m^3}=0,1342441 \ m^3 \cdot 670\ \frac{kg}{m^3} \approx90 \ kg\).

Lösung

Das Vogelbad wiegt ungefähr 90 kg.

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