Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest


Aufgabe

Ein quadratischer Pyramidenstumpf hat die Höhe \(h = 4\ cm\). Die längere Grundkante \(a\) ist dreimal so lang wie die kurze Kante \(b\). Die Seitenflächen sind um 45° gegen die Grundfläche geneigt. Bestimme das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Wie du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Verwende die Volumenformel

Du musst die allgemeine Volumenformel für Stümpfe verwenden:

\(V_{Stumpf}=\frac{1}{3}h(A_{G1}+\sqrt{A_{G1}A_{G2}} +A_{G2})\)

Dabei ist \(A_{G1}\) der Flächeninhalt der Grundfläche und \(A_{G2}\) der Flächeninhalt der Deckfläche. Die Kante \(a\) gehört zu der quadratischen Fläche \(A_{G1}\). Die Kante \(b\) zu der quadratischen Fläche \(A_{G2}\).​

Du kannst also die Volumenformel so umschreiben:

\(V_{Stumpf}=\frac{1}{3}h(a^2+\sqrt{a^2b^2} +b^2)= \frac{1}{3}h(a^2+ab +b^2)\)

Da du aber die Kantenlängen \(a\) und \(b\) noch nicht kennst, musst du sie erst bestimmen.

Schritt 2: Bestimme die Länge der Kanten a und b

Stell dir den Querschnitt durch den Pyramidenstumpf vor.

Wie du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest - Abbildung 2

Da die Seitenfläche gegenüber der Grundfläche einen Winkel von 45° hat, bildet die Seitenfläche mit der Höhe \(h\) und dem entsprechenden Abschnitt der Grundkante ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Das bedeutet, dass du die Länge des Abschnitts der Grundkante bestimmen kannst. Die Länge ist entsprechend der Höhe 4 cm lang.

Wie du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest - Abbildung 3

Dasselbe Dreieck existiert auch auf der anderen Seite.

Wie du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest - Abbildung 4

Da die große Kante dreimal so lang ist wie die kurze Kante, kannst du jetzt die Länge der Kanten \(a\) und \(b\) bestimmen.

Es gilt:

\(a=3b\) und \(a= 4 \ cm+b+4 \ cm \)

\( \Rightarrow 4 \ cm+b+4 \ cm =3b \Rightarrow 8 \ cm=2b \Rightarrow b=4 \ cm\)

\(\Rightarrow a=3b= 3 \cdot 4 \ cm= 12 \ cm\)

Schritt 3: Berechne das Volumen

Setze alle Werte in deine Volumenformel ein.

\(V_{Stumpf}= \frac{1}{3}h(a^2+ab +b^2)=\frac{1}{3} \cdot 4 \ cm \cdot ((12 \ cm)^2+12 \ cm \cdot 4 \ cm +(4 \ cm)^2)\)

\(V_{Stumpf}= \frac{832}{3} \ cm^3 \approx277 \ cm^3\)

Lösung

Der Pyramidenstumpf hat ein Volumen von ungefähr \(277 \ cm^3\).

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier