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Wie du das Verhalten von Funktionen an den Grenzen des Definitionsbereichs untersuchst


Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \( f:x\longmapsto 2-\sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f=\,]{-\infty};6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Bestimme das Verhalten von \(f\) für \(x\longrightarrow -\infty\) und gib \(f(6)\) an.

Schritt 1: Grenzverhalten ermitteln

Du bestimmst das Grenzverhalten von \(f(x)=2-\sqrt{12-2x}\) für \(x\longrightarrow -\infty\). Da die Variable \(x\) im Funktionsterm nur einmal vorkommt, kannst du den Funktionsterm von innen nach außen folgendermaßen durchgehen:

Für \(x\longrightarrow -\infty\) strebt \(-2x\) gegen \(+\infty\), also auch \(12-2x=12+(-2x)\). Da die Wurzelfunktion unbeschränkt wächst, folgt aus \(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}12-2x=+\infty\) sofort \(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\sqrt{12-2x}=+\infty\).

Somit geht \(-\sqrt{12-2x}\) gegen \(-\infty\), woran die Konstante 2 nichts ändert. Also gilt:

\(\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}2-\sqrt{12-2x}=-\infty\)

Die rechte Grenze des Definitionsbereichs ist \(x=6\). An dieser Stelle ist der Funktionswert gefragt, setze also \(x=6\) in die Funktionsgleichung von \(f\) ein.

\(f(6)= 2-\sqrt{12-2\cdot 6}=2-\sqrt{0}=2\)
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