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Wie du das Einsetzungsverfahren anwendest


Aufgabe

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.

I. 6x + 2y = 8

II. 9x − 5y = −44

Schritt 1: Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf

Um ein Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, musst du eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen auflösen. Welche Gleichung und welche Variable du verwendest, ist dir überlassen. Es ist immer am besten, eine Variable zu wählen, vor der eine Zahl steht, durch die man gut teilen kann. Am einfachsten ist 1 oder −1, sehr gut ist auch 2 oder −2. In dieser Aufgabe hier steht in der ersten Gleichung vor dem y eine 2.

I. 6x + 2y = 8

II. 9x − 5y = −44

Löse also am besten die erste Gleichung nach y auf. Dazu bringst du zuerst den x-Term auf die andere Seite.

I. 6x + 2y = 8  | − 6x

         2y = 8 − 6x

Teile jetzt durch 2.

        2y = 8 − 6x  | : 2

         y = 4 − 3x

Schritt 2: Setze den Term in die andere Gleichung ein

Das Ergebnis aus Schritt 1 setzt du jetzt für y in die Gleichung ein, die du noch nicht benutzt hast. Das bedeutet, dass du die unbenutzte Gleichung genau so abschreibst, wie sie in der Aufgabe angegeben ist. Aber an der Stelle der Unbekannten y schreibst du den Term, den du gerade berechnet hast. Denke dabei unbedingt daran, den Term in Klammern zu setzen.

II. \(9x-5y=-44\)

IIa. \(9x-5 \cdot \color {red} (4 - 3x \color {red})=-44\)

Schritt 3: Berechne die erste Variable 

In der so entstandenen Gleichung ist nur noch eine Variable enthalten, in diesem Fall das x. Das kannst du jetzt also einfach berechnen. Beachte dafür die Termumformungsregeln und die Äquivalenzumformungsregeln.

\(9x-5 \cdot (4 - 3x) = -44\)         Klammer auflösen  (Minus mal minus ergibt plus!)

\(9x-20\color{red}+15x = -44\)            Terme zusammenfassen

\(24x-20= -44\;\;\;|+20\)        Zahl mit minus auf die andere Seite bringen

\(24x= -24\;\;\;|:24\)                   Durch die Zahl vor dem x teilen

\(x=-1\)

Schritt 4: Setze das Ergebnis in die erste Gleichung ein und berechne die zweite Variable 

Du hast ein Ergebnis für x berechnet. Jetzt fehlt noch ein Ergebnis für y. Das erhältst du, indem du das Ergebnis für x in die Gleichung einsetzt, die du in Schritt 1 nach y aufgelöst hast.

\(y=4-3x\)

\(y=4-3 \cdot (-1)\)

Das kannst du jetzt sehr einfach berechnen. Beachte dabei, dass minus mal minus wieder plus ergibt.

\(y=4\color{red}+3=7\)

Lösung

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet:

x = −1; y = 7

Du kannst die Lösung auch in Punktschreibweise angeben.

Die Lösung des Gleichungssystems lautet (−1|7).

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