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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Brüche mit Wurzeltermen vereinfachst

Aufgabe

Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich.

\(\begin{align}\frac{5+4\sqrt8}{6-\sqrt8}\end{align}\)

Hinweis

Was ist mit „rational machen“ des Nenners gemeint?

Enthält der Nenner eine Wurzel, muss der Bruch so umgeformt werden, dass im Nenner keine Wurzel mehr auftaucht. Dies erreichst du durch Kürzen und Erweitern und durch Anwendung der dritten binomischen Formel.

Was ist mit „vereinfache so weit wie möglich“ gemeint?

Damit ist gemeint, gleichnamige Terme zusammenzufassen und Brüche zu kürzen.

Bei deinen Umformungen musst du die Rechenregeln für Quadratwurzeln beachten.

Schritt 1: Nenner rational machen

Bei diesem Term kannst du die Wurzel nicht direkt durch Kürzen loswerden. In so einem Fall musst du geschickt erweitern: Wenn im Nenner eine ganze Zahl minus eine Wurzel steht, also wie hier \(6-\sqrt{8}\), dann musst du mit der Zahl plus der Wurzel erweitern, also hier \(6+\sqrt{8}\). Bei \(6+\sqrt{8} \) würdest du dementsprechend mit \(6-\sqrt{8}\) erweitern. Somit kannst du nämlich im Nenner die dritte binomische Formel anwenden:

Dritte binomische Formel

\(\begin{align}(a-b)(a+b)=a^2-b^2\end{align}\)

Bruch erweitern            

\(\begin{align}\frac{5+4\sqrt8}{6-\sqrt8}&\quad|\text{erweitern mit } (6+\sqrt 8)\\=\frac{(5+4\sqrt8)\cdot (6+\sqrt8)}{(6-\sqrt8)\cdot (6+\sqrt8)}& \end{align}\)

Dritte binomische Formel anwenden

Im Nenner kommst du durch Anwendung der dritten binomischen Formel auf \(6^2-(\sqrt{8})^2\). Im Zähler multiplizierst du die Klammern aus. Damit ergibt sich

\(\begin{align}=\frac{30+24\sqrt{8}+5\sqrt{8}+4\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}}{6^2-(\sqrt{8})^2}.\end{align}\)

Schritt 2: Vereinfachen

Du rechnest jetzt im Nenner die Quadrate aus und hast dann endgültig keine Wurzeln mehr im Nenner stehen.

Im Zähler hebt sich bei \(\begin{align}\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\end{align}\) die Wurzel auf. Die restlichen Vielfachen von \(\sqrt{8}\) kannst du addieren, genauso wie 30 \(\) und 32 \((8\cdot 4)\).

\(\begin{align}&=\frac{30+29\sqrt{8}+4\cdot 8}{36-8}\\ &=\frac{62+29\sqrt{8}}{28}\end{align}\)

Beachte, dass \(\sqrt{8}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) ist, d. h., du kannst noch mit 2 kürzen:

\(\begin{align}&=\frac{31+29\sqrt{2}}{14}\end{align}\).

Lösung

\(\begin{align}\frac{5+4\sqrt{8}}{6-\sqrt{8}}=\frac{31+29\sqrt{2}}{14}\end{align}\)

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