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Wie du Bruchgleichungen aufstellst


Aufgabe

Formuliere eine Bruchgleichung, die du zur Lösung der folgenden Aufgabe nutzen könntest:

Paul mit seinem Porsche braucht für 300 km 1 Stunde länger als Katrin in ihrem Käfer für 50 km. Seine Geschwindigkeit ist doppelt so groß wie Katrins. Berechne, wie lange er unterwegs ist bzw. wie schnell beide fahren.

Das musst du wissen

In der Aufgabe geht es um Geschwindigkeiten. Geschwindigkeiten werden immer mit einem Bruch angegeben, der ein Verhältnis aus Strecke und Zeit angibt. Unsere übliche Geschwindigkeitsangabe beim Autofahren ist km/h, eigentlich \(\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\), Kilometer „pro“ Stunde. 200 km/h bedeutet, dass 200 km in 1 Stunde gefahren werden, also 200 km/1 h, wobei die 1 im Nenner zur Vereinfachung nicht hingeschrieben wird und die Einheiten von den Zahlen getrennt zusammengefasst werden. Statt 200 km/h kannst du dann auch \(\frac{400}{2}\) km/h schreiben oder \(\frac{100}{0,5}\) km/h, du darfst den Bruch also beliebig erweitern oder kürzen. Das Verhältnis aus Strecke und Zeit, die Geschwindigkeit, bleibt dabei immer gleich.

Schritt 1: Lege die Variable fest

In der Aufgabe ist danach gefragt, wie lange Paul unterwegs ist, also ist seine Fahrzeit gesucht. Außerdem sollen die Fahrgeschwindigkeiten von Paul und Katrin angegeben werden. Da du aber bereits gelernt hast, dass die Geschwindigkeit der Quotient aus gefahrener Strecke und Fahrzeit ist, und du die gefahrenen Strecken kennst, kannst du die Geschwindigkeiten schnell berechnen, wenn du die Fahrzeiten kennst. Die Variable ist also:

\(t= \) Fahrzeit von Paul

Lösungsalternative

Die Aufgabe kann auch gelöst werden, wenn Katrins Fahrzeit als Variable festgelegt wird, da man aus ihr Pauls Fahrzeit berechnen kann. Da dies aber ein zusätzlicher Rechenschritt ist und die Aufgabenstellung explizit nach Pauls Fahrzeit fragt, ist die andere Wahl naheliegender.

Schritt 2: Stelle die Geschwindigkeiten mithilfe der Variablen dar

Pauls Fahrzeit ist gesucht. In dieser Fahrzeit legt er eine Strecke von 300 km zurück. Geschwindigkeiten werden meist mit dem Buchstaben \(v\) angegeben. Um zwischen Pauls und Katrins Geschwindigkeit zu unterscheiden, kannst du Indizes benutzen. Pauls Geschwindigkeit kannst du also so angeben:

\(\Large v_P = \frac{300}{t}\)

Katrin ist eine Stunde kürzer unterwegs als Paul. Ihre Fahrzeit beträgt also \(t-1\). In dieser Zeit fährt sie 50 km. Daher kann ihre Geschwindigkeit angegeben werden durch:

\(\Large v_K=\frac{50}{t\ -\ 1}\)

Schritt 3: Formuliere eine Bruchgleichung

Um \(t\) zu berechnen, brauchst du eine Tatsache, die beide Geschwindigkeiten miteinander in Verbindung bringt. Damit kannst du dann eine Gleichung formulieren. Bei der betrachteten Aufgabe ist das die Aussage, dass Paul doppelt so schnell unterwegs ist wie Katrin. Seine Geschwindigkeit ist doppelt so groß wie ihre, also gilt:

\(v_P=2\cdot v_K\)

Setzt du nun für die Geschwindigkeiten die Bruchterme ein, erhältst du eine Bruchgleichung, deren Lösung die gesuchte Fahrzeit von Paul ist. Die fragliche Bruchgleichung ist also:

\(\Large\frac{300}{t} = 2\cdot \frac{50}{t\ -\ 1}\) bzw. \(\Large\frac{300}{t}=\frac{100}{t\ -\ 1}\)

Lösung

Eine geeignete Bruchgleichung zur Lösung der genannten Textaufgabe ist z. B.:

\(\Large\frac{300}{t} = 2\cdot \frac{50}{t\ -\ 1}\) bzw. \(\Large\frac{300}{t}=\frac{100}{t\ -\ 1}\)

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