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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du binomische Formeln anwendest

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichung mit dem vorteilhaftesten Verfahren.

\(\begin{align} 2x^2 &=-8+8x\end{align}\)

Hinweis

Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen gibt es viele. Du kennst zum Beispiel die Mitternachtsformel oder die pq-Formel, mit der du quadratische Gleichungen immer lösen kannst. Manchmal kannst du dir aber viel Zeit (z. B. auch das lästige Wurzelziehen) sparen, wenn du erkennst, dass du den Term mit einer binomischen Formel faktorisieren kannst. Aus der faktorisierten Form des Terms kannst du nämlich die Lösung direkt ablesen.

Schritt 1: Alle Variablen und Zahlen auf eine Seite bringen

Zunächst formst du die Gleichung so um, dass alle Variablen und Zahlen auf einer Seite stehen. Damit erhältst du die allgemeine Form der quadratischen Gleichung mit einem Rechenterm auf der einen Seite und null auf der anderen.

\(\begin{align} 2x^2 &=-8+8x\quad&&|-8x+8\\2x^2 -8x+8&=0&&\end{align} \)

Schritt 2: Zweite binomische Formel anwenden

Du kannst die Gleichung durch 2 teilen, da alle Teilterme durch 2 teilbar sind:

\(\begin{align} 2x^2 -8x+8&=0\quad&&|:2\\x^2 -4x+4&=0.&&\end{align}\)

Jetzt ist die linke Seite ein Binom (siehe zweite binomische Formel), die du in der faktorisierten Schreibweise schreiben kannst.

\(\begin{align} x^2 -4x+4&=0\quad |\text{zweite binomische Formel}\\(x-2)^2&=0 \end{align} \)

Zur Erinnerung die binomischen Formeln

Erste binomische Formel: \((a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2\)

Zweite binomische Formel: \((a-b)^2 = a^2 -2ab+b^2 \)

Dritte binomische Formel: \((a-b)(a+b) = a^2 -b^2\)

Lösung

Die Lösung kannst du jetzt einfach ablesen: Sie lautet \(x=2\). Denn: Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Der Faktor in der Klammer wird null, wenn \(x=2\) ist. Somit hat die Gleichung genau eine Lösung: \(\mathbb{L}={2}\).

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