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Wie du Bewegungsaufgaben löst


Aufgabe

Tante Elisabeth fährt von Süddeutschland zur Kur an die Nordsee. Aus Bequemlichkeit fährt sie mit dem Taxi. Das Taxi fährt um 10:00 Uhr los und ist mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h unterwegs. Einige Zeit später bemerkt ihr Neffe Wilhelm, dass sie einen Koffer zu Hause vergessen hat, und springt in seinen Sportwagen, um sie einzuholen. Er fährt um 12:00 Uhr los und rast mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h hinter seiner Tante her.

a) Um wie viel Uhr hat Wilhelm seine Tante eingeholt?

b) Wie viele Kilometer sind die beiden dann von zu Hause entfernt?

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Um wie viel Uhr hat Wilhelm seine Tante eingeholt?

Schritt 1: Nenne die gesuchte Größe x

In Teilaufgabe a) ist nach einer Uhrzeit gesucht. Uhrzeiten kann man nicht direkt berechnen. Stattdessen berechnest du die Zeit, die vergangen ist, bis die beiden sich treffen; genauer gesagt die Zeit, die Tante Elisabeth bis zum Treffpunkt unterwegs ist.

Fahrzeit Tante Elisabeth: x

Ihr Neffe Wilhelm fährt 2 Stunden später als sie los, er ist also 2 Stunden kürzer als seine Tante unterwegs.

Fahrzeit Wilhelm: x − 2

Schritt 2: Überlege dir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Strecke und Zeit

In der Aufgabe sind Geschwindigkeiten gegeben, die Fahrtzeit ist gesucht. Also brauchst du irgendeinen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und der Fahrtzeit. Dieser lautet immer:

\(Geschwindigkeit = \frac{Strecke}{Zeit}\)

Jetzt kommt eine wichtige Überlegung: Wenn sich die beiden irgendwo auf der Strecke treffen, dann sind sie beide gleich weit gefahren. Die zurückgelegte Strecke ist also bei beiden gleich. Löse daher die Geschwindigkeitsformel nach der Strecke auf.

\(Geschwindigkeit = \frac{Strecke}{Zeit}\)  | \(\cdot\ Zeit\)

\(Strecke = Geschwindigkeit \cdot Zeit\)

Schritt 3: Stelle die Gleichung auf

Geschwindigkeit der Tante (80 km/h)  mal Fahrtzeit der Tante (x) ergibt also die gleiche Strecke wie Geschwindigkeit des Neffen (120 km/h) mal Fahrtzeit des Neffen (x − 2). Damit kannst du die Gleichung aufstellen.

\(\color {red} {80 \cdot x} \color {green}= \color {blue}{120 \cdot (x - 2)}\)

Schritt 4: Löse die Gleichung

Die so entstandene Gleichung kannst du jetzt mit den Äquivalenzumformungsregeln nach x auflösen.

\(80 \cdot x = 120 \cdot (x - 2)\)              Klammern auflösen

\(80x = 120x - 240\)  | \(-\ 120x\)    x-Terme auf eine Seite bringen

\(- 40x = -240\)     | \(: (-40)\)     Durch die Zahl vor dem x teilen

\(x = 6\)

Schritt 5: Schreibe einen Antwortsatz

Bei Textaufgaben musst du immer einen Antwortsatz formulieren. Schaue dabei an den Anfang der Aufgabe, um herauszufinden, für welche Größe das x steht. In diesem Fall war x die Fahrtzeit der Tante. Gesucht war aber die Uhrzeit, zu der sich die beiden treffen. Zähle also die 6 Stunden Fahrtzeit zur Startzeit 10:00 Uhr dazu.

Die Tante und ihr Neffe treffen sich um 16 Uhr.

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Wie viele Kilometer sind die beiden dann von zu Hause entfernt?

Schritt 1: Benutze den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Strecke und Zeit

Du weißt aus Teilaufgabe a), dass Tante Elisabeth 6 Stunden lang mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h unterwegs war. Außerdem ist dir der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, zurückgelegter Strecke und Fahrtzeit bekannt.

\(Geschwindigkeit = \frac {Strecke}{Zeit}\)

Diesen Zusammenhang hattest du schon nach der Strecke aufgelöst.

\(Strecke = Geschwindigkeit \cdot Zeit\)

In diese Formel setzt du jetzt einfach Geschwindigkeit und Fahrtzeit von Tante Elisabeth ein.

\(Strecke = 80\ \frac{km}{h} \cdot 6\ h = 480\ km\)

Schritt 2. Formuliere einen Antwortsatz

Die beiden sind dann 480 km von zu Hause entfernt.

Lösung

  1. Die Tante und ihr Neffe treffen sich um 16 Uhr.
  2. Die beiden sind dann 480 km von zu Hause entfernt.
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