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Wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst


Aufgabe

In der Jahrgangsstufe 10 des Grimmelshausen-Gymnasiums können die 80 Mädchen und 70 Jungen zwischen Kunst und Musik wählen. Von den Mädchen wählen 47,5 % Musik, bei den 70 Jungen sind es 26.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt ein Schüler das Fach Kunst, wenn bekannt ist, dass es sich bei dem Schüler um ein Mädchen handelt?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein musikalischer Schüler männlich?

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt ein Schüler das Fach Kunst, wenn bekannt ist, dass es sich bei dem Schüler um ein Mädchen handelt?

Schritt 1: Erstelle ein Baumdiagramm

Als Erstes erstellst du ein Baumdiagramm mit dem Geschlecht auf der ersten Stufe. Das kannst du auch hier noch einmal üben.

Wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst - Abbildung 1

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{M}(Ku)\) – die Frage ist nur: Wo findet man diese Wahrscheinlichkeit im Baum?

Schritt 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit ablesen

Es ist schon bekannt, dass es sich um ein Mädchen handelt. Das heißt, wir wissen sicher, dass in der ersten Stufe des Baumdiagramms der untere Weg gewählt wurde. Somit befinden wir uns genau bei dem Ereignis „Mädchen“ – das war die Bedingung. Die Wahrscheinlichkeit, dass man sich ausgehend von diesem Punkt für „Kunst“ entscheidet, kann man nun einfach ablesen.

\(P_{M}(Ku)=\frac{21}{40}\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein musikalischer Schüler männlich?

Bei dieser Aufgabe ist es etwas schwieriger herauszulesen, was die Bedingung ist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler männlich ist. Dieser Schüler ist aber etwas näher beschrieben, er ist musikalisch. Das heißt, hier werden nicht alle Schüler betrachtet, sondern NUR die musikalischen – das ist die Bedingung. Gesucht ist also \(P_{Mu}(J)\).

Schritt 1: Erstelle ein Baumdiagramm

Das Baumdiagramm hast du bereits erstellt.

Wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst - Abbildung 2

In diesem Diagramm kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht einfach ablesen. In der ersten Stufe wurde zwischen „Junge“ und „Mädchen“ unterschieden, die Bedingung in dieser Aufgabe ist jedoch „Musik“.

Schritt 2: Verwende die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P_{Mu}(J)\). Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:

\(P_{Mu}(J)= \frac{P(Mu\ \cap \ J)}{P(Mu)}\)

Die Wahrscheinlichkeit \(P(Mu \ \cap \ J) = \frac{13}{75}\) kannst du aus dem Baumdiagramm ablesen. Doch die Wahrscheinlichkeit \(P(Mu)\) taucht nicht auf. Das liegt daran, dass in obigem Baumdiagramm die Unterscheidung zwischen „Kunst und Musik erst in der zweiten Stufe passiert. Du musst die Wahrscheinlichkeit \(P(Mu)\) also mithilfe der 2. Pfadregel berechnen.

\(P(Mu) = P(J \ \cap \ Mu) + P(M\ \cap \ Mu) = \frac{13}{75} + \frac{19}{75} = \frac{32}{75}\)

Jetzt kannst du beide Wahrscheinlichkeiten in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen.

\(P_{Mu}(J)= \frac{P(Mu\ \cap \ J)}{P(Mu)} = \frac{\\ \frac{13}{75} \ } { \\ \frac{ \ 32}{ \ 75} \ } = \frac{13}{32}\)

Lösung

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen Kunst wählt, ist:
\(P_{M}(Ku)=\frac{21}{40}\)

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein musikalischer Schüler männlich ist, ist:
\(P_{Mu}(J)= \frac{P(Mu\ \cap \ J)}{P(Mu)} = \frac{\\ \frac{13}{75} \ } { \\ \frac{ \ 32}{ \ 75} \ } = \frac{13}{32}\)

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