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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du aus zwei Richtungsvektoren einer Ebene einen Normalenvektor bestimmst

Aufgabe

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \( A(6|1|0)\), \(B(2|3|0)\) und \(P(3|0|2{,}5)\). Bestimme eine Koordinatengleichung von \(E \).

Schritt 1: Normalenvektor bestimmen

Eine Koordinatengleichung von \(E\) hat die Form \(E:\) \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+c=0\) für geeignete Zahlen \(n_1, n_2, n_3 \)und \(c\) aus \( \mathbb{R} \). Die ersten drei davon sind die Komponenten eines Normalenvektors, der als Erstes bestimmt wird.

Spannvektoren berechnen

Ein Normalenvektor ergibt sich aus zwei Spannvektoren, die die Ausbreitungsrichtung der Ebene angeben. Hier kannst du zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte \(A\), \(B\) und \(P\) als Spannvektoren nehmen, da diese drei Punkte in der Ebene liegen.
\(\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}\text{ und}\\ \overrightarrow{AP}&=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\0\\2,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\2,5\end{pmatrix} \end{align*}\)

Vektor senkrecht auf beide Spannvektoren bestimmen

Als Normalenvektor kann jeder Vektor dienen, der nicht der Nullvektor ist und auf beiden Spannvektoren senkrecht steht. Es gibt zwei Wege, ihn zu bestimmen: entweder über das Kreuzprodukt (das ist der schnellste Weg) oder über das Skalarprodukt.

1. Weg

Ein Normalenvektor ist gegeben durch das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren, also hier
\(\begin{align*} \vec{n}&=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}. \end{align*}\)

Das Kreuzprodukt von\( \begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}\) und\( \begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}\) berechnest du gemäß der allgemeinen Formel
\(\begin{align*} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}. \end{align*}\)

In unserem Fall ist also:
\(\begin{align*} \vec{n}&=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2\cdot 2{,}5-0\cdot(-1)\\0\cdot(-3)-(-4)\cdot2{,}5\\(-4)\cdot(-1)-2\cdot(-3)\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}5\\10\\10\end{pmatrix} \end{align*}\)

Somit ist \(\begin{pmatrix}5\\10\\10\end{pmatrix}\) ein Normalenvektor von \(E\). Einen einfacheren Normalenvektor erhältst du, indem du alle Komponenten durch 5 teilst, nämlich \(\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\).

2. Weg

An den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \) sind zwei Bedingungen zu stellen, nämlich Orthogonalität zum Spannvektor

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\ 2\\0\end{pmatrix} \) und zum Vektor \(\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}\):

\(\begin{align*} \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}=0\text{ und } \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}=0 \end{align*} \)

Ausrechnen der Skalarprodukte liefert das lineare Gleichungssystem:
\(\begin{alignat*}{4} &\text{I:}&-4&n_1&+2&n_2&&&&=0\\ &\text{II:}&-3&n_1&-&n_2&+2,5&n_3&&=0 \end{alignat*} \)

Gleichung I nach \(n_2\) aufgelöst liefert \(n_2=2n_1\). Dies wiederum in II eingesetzt liefert:

\(-3n_1-2n_1+2,5n_3=0\Longrightarrow 2,5n_3=5n_1\Longrightarrow n_3=2n_1\)

Setze jetzt \(n_1=1\) (einen Parameter kannst du frei wählen, außer null, und der Wert 1 ist die einfachste Wahl) und erhalte daraus \(n_3=2n_1=2 \) und \( n_2=2n_1=2\).

Somit ist \(\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) eine Lösung des linearen Gleichungssystems und somit ein Normalenvektor von \( E\).

Schritt 2: Punkt in Ebenengleichung einsetzen

Durch Einsetzen der Komponenten des Normalenvektors aus Schritt 1 in die allgemeine Ebenengleichung \(E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+c=0\) ergibt sich

\(E:x_1+2x_2+2x_3+c=0\).

Lösung

Das liefert 

\(6+2\cdot 1+2\cdot 0+c=0\Longleftrightarrow c=-8 \)

und damit die vollständige Koordinatengleichung

\(E:x_1+2x_2+2x_3-8=0\).

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