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Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst


Aufgabe

In der Jahrgangsstufe 10 des Grimmelshausen-Gymnasiums können die Schüler zwischen Kunst und Musik wählen. Die Wahlergebnisse sind hier nach Wahlfach und Geschlecht verteilt in einer Vierfeldertafel notiert.

Geschlecht /
Wahlfach
Jungen Mädchen insgesamt
Kunst 44 42 86
Musik 26 38 64
insgesamt 70 80 150

 

Zeichne zu der Vierfeldertafel zwei Baumdiagramme, indem zum einen als Knoten auf der ersten Stufe „Jungen“ und „Mädchen“ genommen werden und zum anderen als Knoten auf der ersten Stufe „Kunst“ und „Musik“ genommen werden.

Hinweis

Bei dieser Aufgabe kommt es darauf an, die Daten aus der Vierfeldertafel so zu nutzen und aufzubereiten, dass sie für ein Baumdiagramm verwendet werden können. 

Schritt 1: Baumdiagramm mit Geschlecht auf einer Stufe

Eine Vierfeldertafel entspricht einem zweistufigen Baumdiagramm: Eine Stufe spiegelt die zwei Spalten „Jungen“ und „Mädchen“ wider, die andere stellt die zwei Zeilen „Kunst“ und „Musik“ dar. Im ersten Teil der Aufgabenstellung soll ein Baumdiagramm erstellt werden, bei dem auf der ersten Stufe nach Geschlecht und auf der zweiten Stufe nach Fächerwahl unterschieden wird.

Grobstruktur des Baumdiagramms festlegen

Die grobe Form des Baumdiagramms ist also wie folgt:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 1

Anteile für die einzelnen Pfade berechnen

Jetzt musst du für jeden Pfeil den dazugehörigen Anteil berechnen.

Erste Stufe

Laut Vierfeldertafel sind 70 der 150 Befragten Jungen, d. h., der Anteil der Jungen unter den Schülern beträgt \(\frac{70}{150}=\frac{7}{15} \). Der Anteil der Mädchen ist demnach \(1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}\). Somit sieht die erste Stufe des Baumdiagramms so aus:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 2

 

Zweite Stufe

Jungen: Von den 70 Jungen haben 44 Kunst gewählt, das sind anteilsmäßig \(\frac{44}{70}=\frac{22}{35}.\) Der Anteil der Jungen, die Musik gewählt haben, ist also \(1-\frac{44}{70}=\frac{26}{70}=\frac{13}{35} \).

Mädchen: Von den 80 Mädchen haben 42 Kunst gewählt, das sind anteilsmäßig \(\frac{42}{80}=\frac{21}{40} \). Der Anteil des Fachs Musik ist somit \(1-\frac{21}{40}=\frac{19}{40}.\)

Es ergeben sich somit folgende Anteile:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 3

Bemerkung

Manche Lehrer verlangen bei der Erstellung eines Baumdiagramms auch die Berechnung der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten. Diese errechnen sich entweder mit der Pfadmultiplikationsregel oder direkt über die Anteile, z. B. \(P(J\cap Ku)=\frac{7}{15}\cdot\frac{22}{35}=\frac{22}{75} \) bzw. \(P(J\cap Ku)=\frac{\text{Anzahl der Jungen, die Kunst gewählt haben}}{\text{Gesamtzahl der Jugendlichen}}=\frac{44}{150}=\frac{22}{75} \)

Es ergibt sich dann das erweiterte Baumdiagramm:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 4

 

Schritt 2: Baumdiagramm mit Fach auf erster Stufe

Grobstruktur des Baumdiagramms festlegen

Im zweiten Aufgabenteil soll in der ersten Stufe nach Wahlfach und in der zweiten Stufe nach Geschlecht unterschieden werden. Das Grundgerüst des Baumdiagramms sieht also wie folgt aus:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 5

Anteile für die einzelnen Pfade berechnen

Erste Stufe

Laut Vierfeldertafel haben 86 der 150 Jugendlichen Kunst gewählt, d. h., der Anteil beträgt \(\frac{86}{150}=\frac{43}{75}. \) Der Anteil der Mädchen ist demnach \(1-\frac{43}{75}=\frac{32}{75}.\)Somit ergeben sich für die erste Stufe des Baumdiagramms die folgenden Anteile:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 6

 

2. Stufe

Jungen: Der Anteil der Jungen unter denen, die Kunst gewählt haben, ist \(\frac{44}{86}=\frac{22}{43}\), denn 44 der insgesamt 86 Jugendlichen, die Kunst gewählt haben, waren Jungen. 

Mädchen: Dementsprechend ist der Anteil der Mädchen  \(1-\frac{22}{43}=\frac{21}{43}\).

Nun zu den Anteilen derjenigen, die Musik gewählt haben:

64 Schülerinnen und Schüler haben Musik gewählt, davon waren 26 Jungen.

Der Anteil der Jungen unter denen, die Musik gewählt haben beträgt also \(\frac{26}{64}=\frac{13}{32} \). Die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit ist damit \(1-\frac{13}{32}=\frac{19}{32}\).

Daraus ergeben sich für die zweite Stufe des Baumdiagramms die folgenden Anteile:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 7

Die Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich mit der Pfadmultiplikationsregel oder alternativ mit der Regel von Laplace, z. B. \(P(Ku\cap J)=\frac{43}{75}\cdot\frac{22}{43}=\frac{22}{75} \) bzw. \(P(Ku\cap J)=\frac{\text{Anzahl der Schüler, die Kunst gewählt haben}}{\text{Anzahl aller Befragten}}=\frac{44}{150}=\frac{22}{75}. \) 

Damit ergibt sich das erweiterte Baumdiagramm:

Wie du aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm entwickelst - Abbildung 8

 

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