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Lexikon Mathe

Analytische Bestimmung von Geradengleichungen

In der Analysis bestimmt man die Gleichung einer Geraden, also des Graphen einer linearen Funktion, indem man die jeweils gegebenen Größen in die allgemeine lineare Funktionsgleichung einsetzt.

  • Gerade durch P0(x0|y0) mit der Steigung m
    Beispiel:
    m
     = 1,5 und P0(2|4)
    y0 und x0 müssen die Geradengleichung y = mx + b erfüllen, da P0 auf der Geraden liegt:
    4 = 1,5 · 2 + b, also b = 1.
    Ergebnis: Geradengleichung y = 1,5x + 1

  • Gerade durch die Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2)
    Beispiel:
    P1(1|–2) und P2(3|1)
    Berechnung der Steigung
    \(\displaystyle m = \frac{y_2 - y 1} {x_2 - x_1} = \frac{1 - (-2)}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1,5\)
    Durch Einsetzen eines der beiden Punkte kann man dann wie oben den y-Achsenabschnitt ausrechnen. Es ergibt sich b = –3,5 und damit

    y = 1,5x – 3,5

Die allgemeine Formel lautet

 \(\displaystyle y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1 ) + y_1\)

Sonderfall: Gerade durch die Punkte \(P_1 ( x_1 | y_1 )\) und \(P_2 ( x_2 | y_2 )\) mit \(x_1 = x_2 = a\): Die Gerade steht senkrecht auf der \(x\)-Achse und die Geradengleichung ist \(x = a\). In diesem Fall ist die Gerade kein Funktionsgraph, weil die Zuordnung nicht eindeutig ist (einem x werden unendlich viele Werte zugeordnet).

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