Eine Umformung der Terme einer Gleichung, bei der sich deren Lösungsmenge L (und auch deren Definitionsmenge D) nicht ändert, nennt man Äquivalenzumformung. Mit anderen Worten: Eine Gleichung ist nach einer Äquivalenzumformung äquivalent zur Form, in der sie vor der Umformung war. Das Wort äquivalent kommt übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „gleichwertig“.
Beispiel:
(I) (x – 2) · (x + 5) = 0; D = ℝ; L = {–5; 2}
(II) –2x2 – 6x + 20 = 0; D = ℝ; L = {–5; 2}
Beide Gleichungen haben dieselbe Defintions- und Lösungsmenge, also sind sie äquivalent und die Umformung „Ausklammern“ ist somit eine Äquivalenzumformung.
Man schreibt:
\((x – 2) · (x + 5) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ –2x² – 6x+ 20 = 0 \ \ (D = \mathbb R)\)
Wichtige Äquivalenzumformungen
- Vertauschen der beiden Seiten der Gleichung
- Zusammenfassen, Ausklammern oder Ausmultiplizieren von Termen auf einer Seite der Gleichung:
- Addition oder Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung
- Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit demselben, von null verschiedenen Term
- Logarithmieren beider Seiten der Gleichung (natürlich mit derselben Basis auf beiden Seiten)
Allgemein ist das Anwenden einer umkehrbaren Funktion auf beide Seiten der Gleichung eine Äquivalenzumformung.
Beispiel:
Zur Verdeutlichung ist es üblich, die durgeführte Äquivalenzumformung rechts neben einem senkrechten Strich zu notieren.
\(\begin{align*}3x - 4 &= 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ |+4\\ 3x - 4 + 4 &= 2 + 4\ \ |\text{Zusammenfassen}\\ 3x &= 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3\\ 3x : 3 &= 6 : 3 \ \ \ \, |\text{Zusammenfassen}\\ x& = 2 \end{align*}\)
Achtung: Das Quadrieren ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung, da quadratische Funktionen nicht umkehrbar sind. Nur wenn man die Defitionsmenge passend einschränkt, ist das Quadrieren als Äquivalenzumformung erlaubt!