Ableitungsregeln

Für das Ableiten (Differenzieren) von Funktionen gelten die folgenden wichtigen Regeln:

• Die Ableitung einer konstanten Funktion ist konstant null:
  \(f(x) = c \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = 0 \ \ (c \in \mathbb R)\)

• Beim Ableiten einer Potenzfunktion wird der Exponent um 1 erniedrigt und als Faktor vor die Potenz gezogen:
  \(f(x) = x^n \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
  Dies gilt auch bei rationalen oder reellen Exponenten, z. B. \(\displaystyle f(x) = \sqrt x = x^{1/2} \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = \left(\frac 1 2 \right) \cdot x^{\frac 1 2 -1}= \frac 1 {2\sqrt x}\)

• Konstante Summanden verschwinden beim Ableiten, konstante Faktoren bleiben unverändert:
  \((f(x) + c)' = f'(x) \ \ (c \in \mathbb R)\)
  \((c \cdot f(x) )' = c \cdot f'(x) \ \ (c \in \mathbb R)\)
  Beispiele:
  \(f (x) = x^2 + 5 \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = 2x\)
  \(f (x) = 3 \cdot x^4 \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) =3 \cdot (x^4)' = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3\)

• Summenregel:
  Sind f(x) und g(x) im gemeinsamen Definitionsbereich D überall differenzierbar, dann ist auch die Summenfunktion (f + g)(x) (sieh auch zusammengesetzte Funktionen) differenzierbar und es gilt:
  \((f\pm g)'(x) = f'(x)\pm g'(x)\)
  Beispiel:
  \(f (x) = x^2 + \cos x \ \ \Rightarrow \ \ f' (x) = 2x - \sin x\).

• Produktregel (Faktorregel):
  Sind f(x) und g(x) im gemeinsamen Definitionsbereich D überall differenzierbar, dann ist auch die Produktfunktion (f · g)(x) differenzierbar und es gilt:
  \((f \cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\)
  Beispiel:
  \(f (x) = x^3 \cdot \sin x \ \ \rightarrow \ \ f' (x) = 3 x^2 \cdot \sin x + x^3 \cdot \cos x\)

• Quotientenregel:
  Sind f(x) und g(x) im gemeinsamen Definitionsbereich D überall differenzierbar und ist \(g(x) \ne 0\), dann ist auch die Funktion \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) differenzierbar und es gilt:
  \(\left( \dfrac{f}{g} \right)'(x) = \dfrac {f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)
  Beispiel:
  \(\displaystyle f (x) = \frac{x^3+1}{2x} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{3x^2\cdot 2x-(x^3+1)\cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^3 - 2}{4 x^2} = \frac{2 x^3 - 1}{2 x^2}\)

• Kettenregel:
  Sind die Funktion \(v: x \mapsto v (x)\) an der Stelle \(x_0\) und die Funktion \(u: z \mapsto u (z)\) an der Stelle \(z_0 = v ( x_0 )\) differenzierbar, so ist auch die Verkettung \(f = u \circ v\) mit \(f (x) = u (v (x))\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und es gilt:
  \(f'(x_0) = u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)\)
  Als Merkregel kann man sich die Formulierung „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ einprägen, was in der Leibniz’schen Schreibweise der Ableitungen \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}\)  besonders deutlich wird.
  Beispiel:
  \(f (x) = \sqrt{5x+3}\),  äußere Funktion: \(u (z) = \sqrt{z}\) mit \(z = 5x + 3\),  innere Funktion \(v (x) = 5x + 3\).
  \(\displaystyle f' (x) = u' (v (x)) \cdot v' (x) = \frac{1}{2\sqrt{5x + 3}}\cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x + 3}}\).

• Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion:
  Ist f in einem Intervall umkehrbar und differenzierbar mit \(f'(x_0) \ne 0\), dann ist die Umkehrfunktion \(f^{-1}\! :\ y \mapsto f^{-1}(y)\) an der Stelle y₀ = f(x₀) ebenfalls differenzierbar und es ist:
  \(f^{-1}(y_0) = \dfrac 1 {f'(x_0)}\)
  Beispiel:
  \(f : x \mapsto y = x^2\) ist in \(\mathbb{R}^+_0\) umkehrbar mit der Umkehrfunktion \(f^{-1} : y \mapsto x = \sqrt{y} \ \ (y \in \mathbb{R}^+_0)\) . Für \(x \neq 0\) ist auch \(f' (x) \neq 0\). Somit gilt für alle \(x \in \mathbb{R}^+\): 
  \(\displaystyle ( f^{-1} )' ( y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}\)  (vgl. oben!).