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Originalprüfung 2015 Stochastik GK HT5


Aufgabenstellung

Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = 0,2\) „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von \(0,8\) „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen. Jede Packung enthält \(20\) Fliesen.

Aufgabe a)

(1) 

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.

(2) 

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens \(90\ \%\) der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.

(3) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um \(2\) von der erwarteten Anzahl abweicht.

(2 + 3 + 4 Punkte)

  • Punkte:  9

Aufgabe b)

Die \(20\) Fliesen einer Packung wurden in \(4\) Reihen mit jeweils \(5\) Fliesen verlegt.

(1) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(\tilde p\) dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis: \(\tilde p=0,32768\)]

(2) 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(3) 

In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinanderliegen.

(2 + 5 + 6 Punkte)

  • Punkte:  13

Aufgabe c)

Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert.

Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0,9\) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0,05\) zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

(1) 

Stellen Sie die Situation grafisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).

(2) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.

(8 + 4 Punkte)

  • Punkte:  12

Aufgabe d)

Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von \(p = 0,2\) zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig \(100\) Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.

(1) 

Ermitteln Sie einen geeigneten Hypothesentest (geben Sie geeignete Hypothesen an, begründen Sie die Wahl von \(H_0\) und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von \(100\) Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens \(5\ \%\).

(2) 

Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf \(p = 0,15\) gesenkt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt.

(11 + 5 Punkte)

  • Punkte:  16
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