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Originalprüfung GA 6


Analysis

Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet. Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +6\)\(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.

a) Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt \(2\ \text{mm}\). Begründen Sie, dass der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion mit \(g(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern.

Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.

Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt \(3\ \text{mm}\). Der Einsatz reicht vom Boden bis \(1\ \text{cm}\) unterhalb der Öffnung. Berechnen Sie das maximale Füllvolumen des Einsatzes in \(\text{Litern}\). Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er \(0,75\ \text{Liter}\) Flüssigkeit enthält.

(16 BE)

b) An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac 3 {64}\cdot x^2-\frac 1 4\cdot x+9\)\(x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.

Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) zwar sprungfrei, aber nicht knickfrei ist. Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8|4)\) eine waagerechte Tangente. Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff am Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.

Zeigen Sie:

  • Der parallel zur y-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle ist stets kleiner als \(3,5\ \text{cm}\).
  • Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle beträgt mindestens \(30\ \text{cm}^2\).

(14 BE)

c) Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine ganzrationale Funktion \(p\) dritten Grades betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt. Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass die Funktion \(p\) zwar eine Wendestelle, aber keine Extrema besitzt.

(4 BE)

 

 - Abbildung 1
 

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  34

Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen. Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t_0=0\ \text{s}\).
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion \(f\) mit \(f(t)=40\cdot e^{-\frac 5 2 \cdot t}\)\(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert. Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von \(f\).

a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem der Atemfluss maximal ist. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_2\), zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt. Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt \(t_1\) die Grenze von \(0,1 \frac{\text{L}}{\text{s}}\) unterschreitet. Berechnen Sie die Dauer des Messvorgangs. 

(11 BE) 

b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt \(t_0=0 \ \text{s}\) voll und zum Zeitpunkt \(t_3=2,81\ \text{s}\) leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens \(75\ \%\) der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet. Entscheiden Sie, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.
Bestimmen Sie ein Zeitintervall ab \(t_1=0,4\ \text{s}\) so, dass der Patient innerhalb dieses Zeitintervalls \(1\) Liter Luft ausatmet.

(11 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden im Folgenden die Funktion \(f\) und die Geraden \(g_k\) mit der Gleichung \(g_k(t)=k\cdot t,\ k \in \mathbb{R}\), betrachtet.

c) Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(k\) so, dass die zugehörige Gerade \(g\) auf der Tangente an den Graphen von \(f\) im Wendepunkt senkrecht steht.
Ohne Nachweis können Sie verwenden: Wenn für die Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) zweier Geraden die Beziehung gilt: \(m_1 \cdot m_2=-1\), dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.
Untersuchen Sie, wie viele Punkte die Geraden der Schar \(g_k\) mit dem Graphen der Funktion \(f\) in Abhängigkeit vom Wert des Parameters \(k\) jeweils gemeinsam haben.

(12 BE)

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  34

Stochastik

Aufgabe 2A

Zur Fußballweltmeisterschaft 2014 in Brasilien wurde ein Sammelbuch für die 23 Bilder der deutschen Nationalspieler auf den Markt gebracht. Die zu kaufenden Bilder sind einzeln in undurchsichtiger Folie verpackt. Im Folgenden wird angenommen, dass von jedem Spieler gleich viele Bilder auf dem Markt sind. 

Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Anzahl der gekauften Bilder, die Torwart Neuer zeigen, und wird als binomialverteilt angenommen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Kauf von zehn Bildern mindestens zweimal das Bild von Neuer enthalten ist. Einem Sammler fehlt nur noch das Bild von Torwart Neuer. Bestimmen Sie die Mindestanzahl der zu kaufenden Bilder, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(75\ \%\) mindestens einmal ein Bild von Neuer zu
besitzen.

(8 BE)

b) Ein Supermarkt hat 1000 Bilder im Angebot. Geben Sie die Bedeutung des Intervalls
\(\left[1000\cdot \frac 1 {23}-1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}};\ 1000\cdot \frac 1 {23}+1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}}\right]\)
im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

c) Jemand möchte eine vollständige Bilderserie haben. Begründen Sie, dass er noch durchschnittlich 23 Bilder erwerben muss, wenn nur noch ein Bild fehlt. 

Untersuchen Sie die Gültigkeit folgender Aussage: Man muss durchschnittlich 46 Bilder erwerben, wenn noch zwei Bilder fehlen.

(5 BE)

  • Punkte:  17

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien \(A\), \(B\) und \(C\) verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

a) Partei \(A\) führt eine Umfrage unter \(400\) Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei \(A\) wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden. Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei \(A\) \(18\ \%\) beträgt. 

Bestimmen Sie

  • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens \(65\) Personen Partei \(A\) wählen wollen.
  • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\ \%\) liegt.

(8 BE)

b) Es wird eine Umfrage unter \(1000\) Wahlberechtigten durchgeführt. \(34\ \%\) der Personen geben an, Partei \(B\) wählen zu wollen, \(12\ \%\) der Personen geben an, Partei \(C\) wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien \(B\) und \(C\) zusammen mindestens \(50\ \%\) der Stimmen erreichen. 

(5 BE)

Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(95\ \%\), ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.

c) Es werden \(50\) gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten \(70\ \% \) und \(99\ \%\) berechnet.
Die Abbildungen \(1\) und \(2\) zeigen jeweils die \(50\) berechneten Vertrauensintervalle als Strecken übereinander. Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit \(70\ \% \) im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an.
Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit \(70\ \% \) und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit \(99\ \%\) gehört. 

(4 BE)

 

 - Abbildung 1
 

 

  • Punkte:  17

Lineare Algebra/Geometrie

Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s) oder braun (b). Die nebenstehende Übergangsmatrix \(M\) beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: 
\(\\ \vec h=\begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}\)

\(\qquad\qquad r\qquad\ s \qquad\ b\\M=\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5 \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)

a) Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der linken Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:

\(\vec h_j=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\)
Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile mit roten, schwarzen bzw. braunen Haaren für den Monat September desselben Jahres.  
Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.

(11 BE)

b) Ein anderes Wechselverhalten der Bevölkerung wird durch die nebenstehende Matrix \(N\) beschrieben. Entscheiden Sie für jeden der folgenden Fälle, ob eine Matrix \(N\) angegeben werden kann: 

  • Braunhaarige Einwohner haben im Folgemonat nie rote Haare. 
  • Alle Einwohner werden langfristig rote Haare haben. 

 \(\qquad\qquad\ r\ \ \quad\quad s \qquad\quad b\\N=\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2\cdot w\\0&0,5&0,4-w \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)

(6 BE)

  • Punkte:  17

Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße \(15\ m\)\(20\ m\) und \(6\ m\). Am Ort \(L(3 | 2| 5)\) befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

 

 - Abbildung 1
 

a) Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt \(P(7| 20| 4)\) auf die rechte Wand auftreffen. Bestimmen Sie den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Weisen Sie nach, dass das Laserlicht im Punkt \(A( 15 | 20 | 2)\) auf die rechte Wand auftrifft, wenn die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor \(\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}\) eingestellt wird.
Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(A\) vom Laser.

(9 BE)

b) Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt \(B(15| 0| 2)\) bis zum Punkt \(A (15 | 20 | 2) \) verläuft. 
Zeigen Sie, dass der Laserstrahl senkrecht zu dieser Strecke verläuft, wenn er den Punkt \(C(15 | 2| 2)\) trifft. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes \(D\), der auf der Strecke \(BA\) liegt und vom Laser den gleichen Abstand hat wie der Punkt \(B\) vom Laser. 

(8 BE)

  • Punkte:  17
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