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Originalprüfung GA 5


 

 

Analysis

Teil 1

Eine Käferpopulation besteht zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt aus 50.000 Exemplaren. Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde dezimiert.
Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion \(k\) beschrieben werden: 

\(k(t)=(50+25t)\cdot \text{e}^{-0,1t}\quad\text{mit}\;t \geq0\)

Dabei gilt Folgendes: 

  • 1 Einheit der Funktionswerte ≙ 1000 Käfer
  • 1 Einheit der t-Werte ≙ 1 Jahr

Der Graph von \(k\) sieht folgendermaßen aus:

 - Abbildung 1
 

Aufgabe 1

Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von \(k\) die Extrem- und Wendepunkte des Graphen innerhalb des betrachteten Intervalls unter Zuhilfenahme der ersten Ableitung \(k'(t)=(20-2,5t)\cdot\text{e}^{-0,1t}\).
Begründen Sie das Grenzwertverhalten des Graphen für \(t \rightarrow+∞\) anhand des Funktionsterms von \(k\).

  • Punkte:  16

Aufgabe 2

Beschreiben Sie unter Verwendung der Begriffe „Populationsgröße“ und „Wachstumsgeschwindigkeit“ die Entwicklung der Käferpopulation. Deuten Sie dabei sowohl die Extrem- und Wendepunkte als auch den Grenzwert des Graphen aus Aufgabe 1. 

  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass \(K\) mit \(K(t)=(-250t-3000)\cdot\text{e}^{-0,1t}\) eine Stammfunktion von \(k\) ist. Berechnen Sie den Wert von \(\frac{1000}{30}\cdot\int\limits_{20}^{50} k(t)\text{d}t\) und deuten Sie diesen im Sachzusammenhang.

  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Die Funktion \(k\) beschreibt die Entwicklung der Käferpopulation nur für die ersten 55 Jahre recht gut. Ab dem Zeitpunkt \( t = 55 \) bleibt bei einer verbesserten Beschreibung die zu diesem Zeitpunkt erreichte Wachstumsgeschwindigkeit konstant, sodass für \(t > 55\) ein lineares Wachstum vorliegt.
Berechnen Sie die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei \( t = 55 \) und bestimmen Sie mithilfe der Funktionsgleichung, die ab diesem Zeitpunkt die Populationsgröße beschreibt, den voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation.

  • Punkte:  8

Teil 2

Eine Gärtnerei vertreibt ein tunnelförmiges Foliengewächshaus, dessen Bodenfläche 12 m lang und 7 m breit ist und dessen Höhe 3 m beträgt.

 - Abbildung 1

 

Aufgabe 1

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion \(p\), deren Graph die parabelförmige Berandung der vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschreibt.
\(\left[\text{zur Kontrolle:}\;p(x)=-\frac{12}{49}\cdot x^2+3,\quad x\in[-3,5;\ 3,5]\quad(\text{in Metern})\right]\)

 

  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Berechnen Sie das gesamte Volumen des Gewächshauses unter der Annahme, dass die vordere und hintere Abschlussfläche senkrecht auf der Bodenfläche stehen.

  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Um eine geeignete Arbeitshöhe für die Gärtner zu bekommen, wird in einer Hälfte des Gewächshauses in 1 Meter Höhe über die gesamte Länge des Gewächshauses ein Zwischenboden eingefügt. 

Originalprüfung GA 5 - Abbildung 1
 

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Zwischenbodens.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Zwischenboden kleiner ist als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.

  • Punkte:  7

Aufgabe 4

Mehrere Kunden reklamieren, dass das Gewächshaus im oberen Bereich zu eng gebaut sei. Die Firma möchte mit einer Halbkreis-Form Abhilfe schaffen (siehe Abbildung). Die Höhe und die Länge des Gewächshauses sollen beibehalten werden.

Originalprüfung GA 5 - Abbildung 2
 

Bestimmen Sie den Verbrauch an Folie für die neue Bedachung (ohne Vorder- und Rückseite). 
(Information: Die Gleichung \(x^2+y^2=r^2\) beschreibt einen Kreis mit dem Radius \(r\), dessen Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt.)

  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Leiten Sie ausgehend von den Informationen zu der obigen Abbildung die Funktionsgleichung einer Funktion \(k\) her, mit deren Graph der Rand der halbkreisförmigen vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschrieben werden kann.
\(\left[\text{zur Kontrolle:}\;k(x)=\sqrt{9-x^2}\;\text{für}\;-3\leq x\leq3\right]\)

 

  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Um im unteren Bereich mehr Breite zu gewinnen, wird der Kreisbogen ab den Punkten \(P_1(-2,5|k(x=-2,5))\) und \(P_2(2,5|k(x=2,5))\) durch Tangenten ersetzt.
Berechnen Sie die neue Breite der Bodenfläche des Gewächshauses.
Hinweis: Sie können einfache geometrische Beziehungen zwischen Kreisradius und Kreistangente nutzen. 

  • Punkte:  9

Lineare Algebra Analytische Geometrie

Teil1

Das unten dargestellte quaderförmige Holzgerüst hat eine Länge und Breite von jeweils \(3\,\text{m}\) und eine Höhe von \(2,50\,\text{m}\). Als Sonnen- und Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten \(S(3|2|2,5)\)\(T(3|3|0,5)\) und \(U(0|3|2)\) befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt \(A \approx 3,44\,\text{m}^2\).
 

 - Abbildung 1

 

Aufgabe 1

Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke bleibt dabei unberücksichtigt.

  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Zeichnen Sie das Sonnensegel in die obige Abbildung und berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene \(E\).
\([\text{zur Kontrolle:}\quad \text{E}: x+4y+2z=16]\)

 

  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt \(P(2,5|2,5|0)\) noch \(h = 2,0\,\text{m}\) betragen. Prüfen Sie, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die Stehhöhe über dem Punkt \(P\) beeinträchtigt wird. 

  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene \(DCGH\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt \(C\) konzipiert.
Bestimmen Sie die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt. 
\(​[\text{zur Kontrolle:}\;d \approx 0,87\,\text{m}]\)

 

  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels mit dem Eckpunkt \(C\) verbinden. Berechnen Sie, wie viel Prozent des Raumes innerhalb des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt. 

  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung \(\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 0,5\\-0,25\\-1,25\end{array}\right)\). Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken. Dieser trockene Teil wird durch die Punkte \(S'(4|1,5|0)\)\(T'(3,2|2,9|0)\) und \(U'\) begrenzt. Berechnen Sie die Koordinaten von \(U'\) und stellen Sie diese Fläche in Ihrer Zeichnung dar. 

  • Punkte:  4

Teil 2

Mit einem GPS-Empfänger kann man seine Position auf der Erde metergenau bestimmen. Dies geschieht mithilfe von Satelliten, die ihre Signale in alle Richtungen zur Erde senden. Je mehr Satelliten empfangen werden können, desto sicherer und genauer wird die Positionsbestimmung. Nehmen Sie an, dass sich der Satellit NAVSTAR momentan auf der Position \(N(0|10|20203)\) und der Satellit KOSMOS auf \(K(4309|2801|20513)\) befindet (alle Angaben in km). Ein GPS-Empfänger auf der Erde empfängt die Signale beider Satelliten. Das Signal von NAVSTAR wird aus Richtung des Vektors \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}25\\37\\-1010\end{array}\right)\) empfangen und das von KOSMOS aus Richtung des Vektors \(\vec{w}=\left(\begin{array}{c}-13\\-7\\-70\end{array}\right)\).

Aufgabe 1

Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die von \(K\) aus in Richtung des Vektors \(\vec{w}\) verläuft, und beschreiben Sie den Aufbau dieser Gleichung. 

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass sich der GPS-Empfänger auf der Position \(E(500|750|3)\) befindet.

  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Berechnen Sie den Abstand des Satelliten KOSMOS zum Empfänger. 

  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Berechnen Sie, in welchem Winkel zueinander die Signale beim Empfänger eintreffen.

  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Geocaches sind in der Natur versteckte „Schätze“, die man mittels GPS-Koordinaten finden kann. Man kann sich diese immer beliebter werdende Freizeitbeschäftigung als eine Art elektronische Schatzsuche vorstellen. Die GPS-Koordinaten zu einem Geocache findet man im Internet. 
Ein Schatzsucher steht in \(A(2|0|0)\) direkt am Fuße einer steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene. In der Nähe der Ebene befindet sich ein Geocache in \(G(3,1|6|1,4)\). Von seiner Position in \(A\) aus peilt der Schatzsucher zunächst die beiden in der Ebene liegenden, markanten Punkte \(B(1|3|1)\) und \(C(–5|6|3)\) an.  \((1\,\text{LE}\,\widehat{=}\,100\,\text{m})\)

Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A\)\(B\) und \(C\) verläuft.
\([\text{zur Kontrolle:}\quad \text{E:}\;3x-4y+15z=6]\)

 

  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Erläutern Sie die folgenden vier Rechenschritte und die Bedeutung der Rechnung im Sachzusammenhang: 

\(\begin{align} 1.\quad&E_1:\,3x-4y+15z=6\Rightarrow\vec{n_1}=\left(\begin{array}{c}3\\-4\\15\end{array}\right) \\ 2.\quad& E_2:\,z=0\Rightarrow\vec{n_2}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \\ 3.\quad&\cos(\gamma)=\frac{\left|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n_2}\right|}=\frac{15}{\sqrt{250}}\Rightarrow \gamma\approx 18,4^° \\ 4.\quad&\tan(\gamma)\approx 33,3\ \% \end{align}\)

 

  • Punkte:  6

Aufgabe 7

Zeichnen Sie die Lage des Geocaches in \(G(3,1|6|1,4)\) als Punkt in das folgende Koordinatensystem ein. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Geocache über, auf oder unter der Erdoberfläche versteckt ist. 

  • Punkte:  6

Stochastik

Jedes Jahr im Frühjahr gibt der DRV (Deutscher ReiseVerband e. V.) in einer Broschüre einen Kurzüberblick über die wichtigsten Daten der Tourismusbranche. Sofern nicht anders angegeben, beziehen sich die Zahlen dieser Aufgabe auf die von Deutschen durchgeführten Reisen im Jahr 2012.

Aufgabe 1

Für die Reiseziele der Reisen ab fünf Tagen Dauer hat der DRV folgende Zahlen ermittelt: 31 % der Reiseziele lagen in Deutschland, 7,2 % der Reisen waren Fernreisen. Der Rest verteilte sich auf Nah- und Mittelstreckenziele. 
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die angegebenen Zahlen auch für das Jahr 2015 gleich bleiben. Es werden 100 von Deutschen durchgeführte Reisen ab fünf Tagen Dauer für das Jahr 2015 zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie jeweils unter Angabe einer Zufallsgröße \(X\) die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Unter den 100 Reisen

  1. führen genau 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
  2. führen mindestens 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
  3. sind mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen. 
  • Punkte:  8

Aufgabe 2

Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang:

\(P(X=62)=\left(\begin{array}{c}100\\62\end{array}\right)\cdot(0,618)^{62}\cdot(0,382)^{38}=0,0819\)

 

  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Der DRV erfasst gesondert Kurzurlaube. Kurzurlaube sind Urlaube, deren Reisedauer unter fünf Tagen liegt. 76 % aller Kurzurlaube gingen ins Inland. 42,6 % aller Kurzurlaube ins Inland waren Städtereisen. 8 % aller Kurzurlaube waren Städtereisen ins Ausland. 

Stellen Sie den Sachverhalt mithilfe eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel dar.

  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Es wurden insgesamt 74,5 Mio. Kurzreisen angetreten. Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Städtereisen. 

  • Punkte:  2

Aufgabe 5

Bei den Kurzurlauben geht ein Reiseanbieter davon aus, dass sich das Reiseverhalten der Deutschen in den folgenden Jahren nicht ändert. Die ermittelten Zahlen aus dem Jahr 2012 werden daher übernommen. 
Dem Reiseanbieter liegt im Jahr 2015 eine Buchung einer Städtereise vor.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt. 

  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Der DRV stellt in seiner Broschüre außerdem fest, dass im Jahr 2012 8 % der Pauschalreisen online gebucht wurden. Eine Reisebürokette vermutete, dass sich der Anteil der online gebuchten Pauschalreisen im Jahr 2013 erhöht habe. Um dies zu überprüfen, wurden 100 von Deutschen durchgeführte Pauschalreisen des Jahres 2013 zufällig ausgewählt und die betroffenen Reisenden nach ihrem Buchungsverhalten befragt. 

Die Reisebürokette testete die Nullhypothese: \(H_0: p ≤ 0,08\)
Entwickeln Sie im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5 %. 

  • Punkte:  5

Aufgabe 7

Sollten Sie in Aufgabe 6 zu keiner Lösung gekommen sein, so verwenden Sie als kritische Zahl, d. h. als kleinsten Wert im Ablehnungsbereich der Nullhypothese, \(k = 13\).

Erläutern Sie den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.

  • Punkte:  2

Aufgabe 8

Im Frühjahr 2014 gab der DRV bekannt, dass 15 % der von Deutschen im Jahr 2013 durchgeführten Pauschalreisen online gebucht wurden. 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging. 

  • Punkte:  2
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