Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Originalprüfung GA 3


HT1

Aufgabe a)

Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für \(0\leq t\leq 3\) die Funktion \(N_1\) mit der Gleichung \(N_1(t)=500\cdot e^{0,6\ \cdot\ t},\ t \in \mathbb R\). Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und \(N_1(t)\) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt \(t\) aufgefasst. Der Graph von \(N_1\)  ist in der Abbildung dargestellt.

(1)

Berechnen Sie den Funktionswert von \(N_1\) an der Stelle \(t=3 \) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2) 

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem \(2000\) Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.

Originalprüfung GA 3 - Abbildung 1
 

(3) 

Berechnen Sie, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst.

(4) 

Begründen Sie, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist.

(3 + 4 + 3 + 4 Punkte)

  • Punkte:  13

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\leq t \leq 3\)) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung \(r_1(t)=300\cdot e^{0,64\ \cdot\ t},\ t\in \mathbb R\) beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\) Tier pro Tag aufgefasst.

Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb R\) die Aussage: \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\).
[Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.

  • Punkte:  7

Aufgabe c)

Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für \(3\leq t\leq6\)) verwendet der Schüler die Funktion \(r_2\) mit der Gleichung \(r_2(t)=300\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t},\ t\in \mathbb R\). Dabei wird \(r_2(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\) Tier pro Tag aufgefasst.

(1) 

Zeigen Sie, dass für die Funktionen \(r_1\) und \(r_2\) für alle \(a\in\mathbb R\) die Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) gilt.

(2) 

Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) für \(0 \leq a \leq 3\) im Sachzusammenhang.

(3) 

Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(x)=-\frac 5 3\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\) ist.

(4) 

Bestimmen Sie, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung im Laufe des vierten Tages (d. h. im Intervall \([3;4]\)) hinzukommen, wenn die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen für \(3\leq t\leq6\) durch die Funktion \(r_2\) beschrieben wird.

(5) 

Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen \(N_1 \) und \(r_2\) eine Gleichung der Funktion \(N_2\), durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung beschrieben werden kann.
[Zur Kontrolle: \(N_2(t)=1000\cdot e^{1,8}-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\)]

(6) 

Der Schüler verwendet die Funktion \(N_2\) auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für  \(6 ≥ t\). Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als \(6050\) wird.

(5 + 4 + 4 + 6 + 7 + 4 Punkte)

  • Punkte:  30

HT2

Aufgabe a)

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung:
\(f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400,\ t\in \mathbb R\)
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion \(g\) mit der Gleichung:
\(g(t)=-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053, \ t\in\mathbb R\)
modelliert, und zwar für das Zeitintervall \([0;12]\), das dem Kalenderjahr entspricht. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und \(f(t)\) sowie \(g(t)\) als Maßzahlen zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt \(t=0\) entspricht dem Beginn des Kalenderjahres. Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Originalprüfung GA 3 - Abbildung 2
 

(1) 

Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang.

(2) 

Berechnen Sie \(\frac {f(0)}{g(0)}\) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

(3) 

Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten \(t_1=3 \) und \(t_2=9,5\) dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.

(5 + 5 + 4 Punkte)

  • Punkte:  14

Aufgabe b)

(1) 

Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechnen Sie den Maximalwert.

(2) 

Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall \([0;12]\), zu dem der durch \(g\) beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

(8 + 10 Punkte)

  • Punkte:  18

Aufgabe c)

(1) 

Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion \(G\) von \(g\) an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.

(2) 

Im Intervall \([3; 9,5]\) wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall \([3; 9,5]\) zur Verfügung steht.

(3) 

Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang.

\(\frac{\int_0^{12}f(t)\mathrm d t\ -\ \int_3^{9,5}\left(f(t)\ -\ g(t)\right)\mathrm d t}{\int_0^{12}g(t)\mathrm d t}\approx0,575\)

(6 + 6 + 6 Punkte)

  • Punkte:  18

Geometrie

HT3

Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(O(0|0|0),\ A(9|12|0),\ B(-3|21|0),\ C(-12|9|0)\) und \(S(-1,5|10,5|15)\) Eckpunkte der Pyramide \(OABCS\), deren Grundfläche das Viereck \(OABC\) ist (siehe Abbildung).

Originalprüfung GA 3 - Abbildung 3
 

Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.

Aufgabe a)

(1) 

Zeigen Sie, dass das Viereck \(OABC\) ein Quadrat ist.

(2) 

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramide \(OABCS\).

(6 + 8 Punkte)

 

  • Punkte:  14

Aufgabe b)

(1) 

Zeigen Sie, dass der Punkt \(R (5|15|0)\) auf der Strecke \(AB\) liegt.

(2) 

Zeigen Sie, dass die Strecke \(OR\) die Grundfläche der Pyramide im Verhältnis \(5:1\) bzw. \(1:5\) teilt.

(3) 

Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) her, die durch die Punkte \(O\)\(Q(1|1|2)\) und \(R\) festgelegt ist.
[Mögliches Ergebnis: \(E: 3x_1-x_2-x_3=0\)]

(3 + 5 + 7 Punkte

  • Punkte:  15

Aufgabe c)

(1) 

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(P\) der Geraden \(g\) durch \(S\) und \(A\) mit der Ebene \(E\) aus Aufgabe b) (3). [Zur Kontrolle: Der Schnittpunkt ist \(P(5,5|11,5|5)\).]

(2) 

Weisen Sie nach, dass die Strecken \(\overline {OP}\) und \(\overline{BP}\) senkrecht zur Geraden \(g\) verlaufen.

(3) 

Begründen Sie, dass der Streckenzug \(\overline{OPB}\) ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechnen Sie die Länge des Streckenzuges.

(4) 

Es gibt einen weiteren Streckenzug \(\overline{ONB}\) \((N\neq P)\), der ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide ist. Begründen Sie diese Aussage und beschreiben Sie die Lage des Punktes \(N\).

(6 + 4 + 6 + 5 Punkte)

  • Punkte:  21

Stochastik

HT4

Aufgabenstellung

Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (\(w\)), jungen Fähen (\(j\)) sowie ausgewachsenen Fähen (\(a\)) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014:

  \(2013\) \(2014\)
\(w\) \(65\) \(52\)
\(j\) \(8\) \(26\)
\(a\) \(20\) \(16\)

Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix \(A\) beschreiben.

\(\begin{array}\\ &\text{von:}&\quad \quad \quad w\ \ \ \quad j\ \ \quad a\\ \text{nach:}&\\ \begin{array}\\ w\\j\\a \end{array}&&A=\begin{pmatrix}0&1,5&2\\b&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix} \end{array}\)

Aufgabe a)

(1) 

Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass \(b=0,4\) gilt.

(2) 

Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix \(A\) im Sachzusammenhang.

(3 + 4 Punkte)

Aufgabe b)

(1) 

Berechnen Sie die Verteilungen, die nach diesem Modell in den Jahren \(2015\) und \(2016\) zu erwarten sind.

(2) 

Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr \(2012\) vorgelegen hätte.

(3) 

Zeigen Sie, dass sich in diesem Modell die Population aus \(2011\) nicht bestimmen lässt.

(4) 

Ein Biologe behauptet, dass weniger als \(15\ \%\) aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix \(A\) die Behauptung des Biologen zutrifft.

(4 + 5 + 3 + 4 Punkte)

 

Aufgabe c)

Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix \(B\) modelliert werden.

\(B=\begin{pmatrix}0&1&0,1\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix}\)

(1) 

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix \(B\) im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix \(A\).

(2) 

Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden. Zeigen Sie, dass eine von \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.

(3) 

Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung \(\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) \(n_1,\ n_2\) und \(n_3\).

(2 + 7 + 4 Punkte)

Aufgabe d)

Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von \(80\ \%\) beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
\(C=\begin{pmatrix}0&g\\0,8&h\end{pmatrix}\)
mit \(0 > g\) und \(0\leq h<1\) dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt \(19\) Tieren konstant bleiben.

(1) 

Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit 11 Welpen nicht vorkommen kann.

(2) 

Zeigen Sie, dass sich für \(g=\frac 5{14}\) und \(h=\frac 5{7}\) eine stationäre Verteilung mit \(5\) Welpen und \(14\) Fähen ergibt.

(3) 

Mit den Werten aus (2) ist \(C=\begin{pmatrix}0&\frac5{14}\\0,8&\frac5 7\end{pmatrix}\). Ein Taschenrechner liefert z. B.:

\(C^{17}=\begin{pmatrix}0,2222222218&0,2777777779\\0,6222222226&0,7777777777\end{pmatrix}\)

Die Potenzen \(C^n\) der Matrix \(C\) streben mit wachsendem \(n\) gegen die Matrix \(G=\begin{pmatrix}\frac2{9}&\frac5{18}\\\frac{28}{45}&\frac7 9\end{pmatrix}\). Mithilfe der Matrix \(G\) lässt sich die langfristige Entwicklung einer Population ermitteln. Leider fallen in einem Jahr alle fünf Welpen der Population einer Infektionskrankheit zum Opfer. Daraufhin beschließt die Tierparkleitung die Anschaffung von vier zusätzlichen Fähen. Ermitteln Sie die langfristige Entwicklung der neuen Population.

(7 + 2 + 5 Punkte)

HT5

Aufgabenstellung

Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = 0,2\) „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von \(0,8\) „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen. Jede Packung enthält \(20\) Fliesen.

Aufgabe a)

(1) 

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.

(2) 

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens \(90\ \%\) der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.

(3) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um \(2\) von der erwarteten Anzahl abweicht.

(2 + 3 + 4 Punkte)

  • Punkte:  9

Aufgabe b)

Die \(20\) Fliesen einer Packung wurden in \(4\) Reihen mit jeweils \(5\) Fliesen verlegt.

(1) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(\tilde p\) dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis: \(\tilde p=0,32768\)]

(2) 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(3) 

In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinanderliegen.

(2 + 5 + 6 Punkte)

  • Punkte:  13

Aufgabe c)

Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert.

Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0,9\) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0,05\) zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

(1) 

Stellen Sie die Situation grafisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).

(2) 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.

(8 + 4 Punkte)

  • Punkte:  12

Aufgabe d)

Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von \(p = 0,2\) zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig \(100\) Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.

(1) 

Ermitteln Sie einen geeigneten Hypothesentest (geben Sie geeignete Hypothesen an, begründen Sie die Wahl von \(H_0\) und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von \(100\) Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens \(5\ \%\).

(2) 

Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf \(p = 0,15\) gesenkt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt.

(11 + 5 Punkte)

  • Punkte:  16
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!
Deine Vorteile
  • Bessere Noten mit über 15.000 Lerninhalten in 9 Fächern
  • Originalklassenarbeiten, Musterlösungen und Übungen
  • NEU: Persönliche WhatsApp-Nachhilfe

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Next

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Abiturprüfungen findest du hier