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Originalprüfung EA 5


Pflichtteil

Aufgabe 1

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f\)\(g\) und \(h\) durch 
\(f(x)=x^2-x+1,\;g(x)=x^3-x+1\;\text{und}\; h(x)=x^4+x^2+1.\)

  1. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
     - Abbildung 1

    Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt. 
  2. Die erste Ableitungsfunktion von \(h\) ist \(h'\). Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits^1_0 h'(x)\text{d}x.\)

(3 + 2 BE)

Aufgabe 2

Für jeden Wert von \(a>0\) ist eine Funktion \(f_a\) gegeben durch \(f_a(x)=x\cdot \text{e}^{-ax}\;(x\in\mathbb{R}).\) 

 

 - Abbildung 1
 

In der obigen Abbildung ist beispielhaft für \(a=2\) der Graph \(f_2\) sowie \(f'_2\) dargestellt. Es ist \(f'_2(0)=1.\)

  1. Begründen Sie, dass \(y=x\) die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f_2\) an der Stelle \(x=0\) ist.
  2. Zeigen Sie, dass gilt: \(f'_a(x)=(1-ax)\cdot \text{e}^{-ax}\;(x\in\mathbb{R},\;a>0).\)
  3. Begründen Sie, dass die Extremstellen der Graphen von \(f_a\) vom Parameter \(a\) abhängig sind, die Nullstellen aber nicht.

(2 + 2 + 2 BE)

Aufgabe 3

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p \) beschrieben.  

  1. Geben Sie für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von \(p\) beschreibt.
    1. Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.
    2. Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen. 
  2. Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

(3 + 2 BE)

Aufgabe 4

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(0 |1| 2)\) und \(B(2| 5 | 6)\).

  1. Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).
  2. Die Punkte \(A\)\(B\) und \(E(1| 2| 5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunktes gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunktes an.

(3 + 2 BE)

Aufgabe 5

Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben die drei Anbieter A1, A2 und A3 jeweils 10 000 Kunden. Die für das nächste Jahr zu erwartende Kundenwanderung zwischen diesen Anbietern wird durch die folgende Übergangstabelle beschrieben:

 

 - Abbildung 1
 
  1. Vervollständigen Sie den folgenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres. Geben Sie die Gesamtzahl der Kunden an, die innerhalb des nächsten Jahres den Anbieter wechseln.
     - Abbildung 1
  2. Ausgehend von der Ausgangsverteilung von je 10 000 Kunden wird eine Fusion der Anbieter A1 und A2 zu einem Anbieter A1&A2 geplant. Im Kundengeschäft behalten beide ihr bekanntes Profil bei, sodass angenommen werden kann, dass die Kundenwanderung im nächsten Jahr weiterhin wie in der obigen Übergangstabelle dargestellt abläuft. Vervollständigen Sie den folgenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
     - Abbildung 1

    Vervollständigen Sie die folgende Übergangstabelle zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
     - Abbildung 1

(2 + 3 BE)

Wahlteil

Analysis

Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der folgenden Abbildung im Koordinatensystem liegend betrachtet.
 

 - Abbildung 1
 

Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+6\,;\, x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.

  1. Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt 2 mm. Begründen Sie, dass innen der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern. 
    Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
    Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der obigen Abbildung dargestellt. Seine Wandstärke beträgt 3 mm. Der Einsatz reicht vom Boden bis 1 cm unterhalb der Öffnung.
    Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er 0,75 Liter Flüssigkeit enthält.
  2. An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac{1}{256}\cdot x^3-\frac{3}{64}\cdot x^2+9\,;\,x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.
    Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist.
    Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8 | 4)\) eine waagerechte Tangente.
    Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff im Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.
    Zeigen Sie, dass der parallel zur \(y\)-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als 3,7 cm ist.
  3. Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt. 
    Berechnen Sie die Masse des dafür benötigten Kunststoffs, wenn 1cm³ Kunststoff eine Masse von 0,91g hat (Nur für CAS).
    Berechnen Sie das Volumen des dafür benötigten Kunststoffs (Nur für GTR).
    Die senkrecht zum Graphen von \(f\) gemessene Dicke \(d\) der Hülle soll untersucht werden. Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von \(f\) durch den Punkt \(C(0 | 6)\) verläuft, hat die Gleichung \(n(x)=\frac{8}{3}\cdot x+6.\)
    Untersuchen Sie, ob die Dicke \(d\) im Punkt \(C(0 | 6)\) um weniger als 10% von der parallel zur \(y\)-Achse gemessenen Wandstärke abweicht.
  4. Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen \(p\) dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben.
    In der folgenden Abbildung ist der Graph einer möglichen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt.
     
     - Abbildung 1

    Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion \(p\) dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:
    1. Die \(x\)-Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der \(x\)-Koordinate des Hoch- und der \(x\)-Koordinate des Tiefpunktes.
    2. Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.

(14 + 12 + 13 + 7 BE)

Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen. Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t_0=0\)s.
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion \(f\) mit \(f(t)=40\cdot t\cdot\text{e}^{-\frac{5}{2}t}\)\(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von \(f\).
 

 - Abbildung 1
 
  1. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem der Atemfluss maximal ist.
    Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_2\), zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
    Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt \(t_1\) die Grenze von \(0,1\frac{L}{s}\) unterschreitet.
    Berechnen Sie die Dauer des Messvorgangs.
  2. Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt \(t_0=0\)s voll und zum Zeitpunkt \(t_3=2,81\)s leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens 75% der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.
    Entscheiden Sie, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann. 
    Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Patient 3,2 Liter Luft ausgeatmet hat.
  3. Bei einer weiteren Messung wird der Atemfluss durch die Funktion \(g\) mit \(g(t)=35\cdot t\cdot\text{e}^{-\frac{5}{2}t}\)\(t\) in Sekunden, \(g(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert.
    Begründen Sie ohne Rechnung, dass bei dieser Modellierung die Zeitpunkte \(t_1\) und \(t_2\) aus Teilaufgabe a) gleich bleiben.
    Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes \(S\) aufgezeichnet. Nach der Messung wird festgestellt, dass dadurch für einen Zeitraum von 0,25 Sekunden keine Atemflusswerte aufgezeichnet wurden. Die folgende Abbildung verdeutlicht diesen Sachverhalt.
     
     - Abbildung 1


    Bestimmen Sie das Zeitintervall, in dem das Messgerät keine Werte aufzeichnet, und den Schwellenwert \(S\).
  4. Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktion \(h\) mit \(h(x)=x^2\cdot\text{e}^{x^2}\) gegeben.
    CAS:
    • Zeigen Sie, dass der Graph von \(h\) an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.
    • Im Folgenden wird die Funktion \(k\) mit \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\) betrachtet.
    • Untersuchen Sie, wie viele Stellen mit waagerechter Tangente der Graph von \(k\) haben kann, wenn \(p\) eine quadratische Funktion ist.
    • Im Folgenden soll \(p\) eine beliebige differenzierbare Funktion sein.
    ​​GTR:
    • Weisen Sie nach, dass sich die erste Ableitung von h in der Form \(h'(x)=2\cdot x\cdot m(x)\) mit geeigneter Funktion \(m\) schreiben lässt.
    • Begründen Sie, dass der Graph von h an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.
    • IIm Folgenden wird die Funktion \(k\) mit \(k(x)=p(x)\cdot\text{e}^{p(x)}\) betrachtet. Die Funktion \(p\) ist differenzierbar.
    Beurteilen Sie, ob der Graph von \(k\) an allen Extremstellen von \(p\) jeweils eine waagerechte Tangente hat.

(CAS: 11 + 11 + 10 + 14 BE)
(GTR: 11 + 12 + 11 + 12 BE)

Stochastik GTR

Aufgabe 2A

Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her. Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.
Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße \(Y\) den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.
Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_X=0,09\) mm aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert \(\mu_Y=10,12\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_Y=0,11\) mm aus.

  1. ​Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens 9,70 mm beträgt.
    Bestimmen Sie die untere Grenze \(u\) so, dass für 75% aller Außendurchmesser d der Bolzen gilt: \(u\le d\le 9,90\).
    Durch eine neue Vorgabe sollen 90% der Außendurchmesser der Bolzen nur 1% vom Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm nach unten oder nach oben abweichen.
    Bestimmen Sie die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  2. Es werden der laufenden Produktion 100 Buchsen zufällig entnommen. 
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens 90 aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von 10,00 mm hineinpasst.
  3. Die Zufallsgröße \(W\) mit \(W=Y-X\) ist normalverteilt. Für den Erwartungswert \(\mu_W\) gilt \(\mu_W=\mu_Y-\mu_X\).
    In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi\) dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von
    \(\int\limits^{\mu_W+1,96\sigma_W}_{\mu_W-1,96\sigma_W}\varphi(w)\text{d}w\)
    in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.
    Zeigen Sie mithilfe der Grafik, dass \(\sigma_W> \sigma_X\)  gilt.
    Untersuchen Sie mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als 97,5%.
     
     - Abbildung 1

(10 + 6 + 8 BE)

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien A, B und C verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

  1. Partei A führt eine Umfrage unter 400 Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei A wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.
    Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei A 18% beträgt.
    Bestimmen Sie
    • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens 65 Personen und höchstens 80 Personen Partei A wählen wollen.
    • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% liegt.
  2. Es wird eine Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten durchgeführt. 34% der Personen geben an, Partei B wählen zu wollen, 12% der Personen geben an, Partei C wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien B und C zusammen mindestens 50% der Stimmen erreichen.
    Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist. 
    Eine zweite Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten liefert für Partei B zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% das Vertrauensintervall \([0,3204;b]\).
    Bestimmen Sie den Wert von \(b\).
  3. Es werden 1000 gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten 75% und 99% berechnet.
    Die folgenden beiden Abbildungen zeigen als Häufigkeitsdiagramme jeweils die linken Intervallgrenzen der zugehörigen Vertrauensintervalle.
     
     - Abbildung 1

     - Abbildung 1


    Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an.
    Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 99% gehört.

(9 + 10 + 5 BE

Stochastik CAS

Aufgabe 2A

Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her. Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.
Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße \(Y\) den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.
Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_X=0,09\) mm aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert \(\mu_Y=10,12\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_Y=0,11\) mm aus.

  1. ​Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens 9,70 mm beträgt.
    Bestimmen Sie die untere Grenze \(u\) so, dass für 75% aller Außendurchmesser d der Bolzen gilt: \(u\le d\le 9,90\).
    Durch eine neue Vorgabe sollen 90% der Außendurchmesser der Bolzen nur 1% vom Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm nach unten oder nach oben abweichen.
    Bestimmen Sie die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  2. Es werden der laufenden Produktion 100 Buchsen zufällig entnommen. 
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens 90 aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von 10,00 mm hineinpasst.
  3. Die Zufallsgröße \(W\) mit \(W=Y-X\) ist normalverteilt. Für den Erwartungswert \(\mu_W\) gilt \(\mu_W=\mu_Y-\mu_X\).
    In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi\) dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von
    \(\int\limits^{\mu_W+1,96\sigma_W}_{\mu_W-1,96\sigma_W}\varphi(w)\text{d}w\)
    in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.
    Zeigen Sie mithilfe der Grafik, dass \(\sigma_W> \sigma_X\)  gilt.
    Untersuchen Sie mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als 97,5%.
     
     - Abbildung 1

(10 + 6 + 8 BE)

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien A, B und C verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

  1. Partei A führt eine Umfrage unter 400 Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei A wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.
    Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei A 18% beträgt.
    Bestimmen Sie
    • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens 65 Personen und höchstens 80 Personen Partei A wählen wollen.
    • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% liegt.
  2. Es wird eine Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten durchgeführt. 34% der Personen geben an, Partei B wählen zu wollen, 12% der Personen geben an, Partei C wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien B und C zusammen mindestens 50% der Stimmen erreichen.
    Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist. 
    Eine zweite Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten liefert für Partei B zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% das Vertrauensintervall \([0,3204;b]\).
    Bestimmen Sie den Wert von \(b\).
  3. Es werden 1000 gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten 75% und 99% berechnet.
    Die folgenden beiden Abbildungen zeigen als Häufigkeitsdiagramme jeweils die linken Intervallgrenzen der zugehörigen Vertrauensintervalle.
     
     - Abbildung 1

     
     - Abbildung 1


    Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an.
    Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 99% gehört.

(9 + 10 + 5 BE)

Stochastik/Analytische Geometrie

Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s), weiß (w) oder braun (b).
Die Übergangsmatrix \(M\) 
\(\qquad\quad\;\; r\,\quad\ s \qquad w\quad\ b\\M=\begin{pmatrix}1&0,5&0&0\\0&0&0,5&0\\0&0,5&0&0 \\0&0&0,5&1 \end{pmatrix}\begin{array}{c} r\\s\\w\\b\end{array}\)
beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: \(\vec{h}=\left(\begin{array}{c}r\\s\\w\\b\end{array}\right)\)

  1. Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der 2. Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang.
    Begründen Sie ohne Rechnung, dass es in Phantasia langfristig nur Einwohner mit roten oder braunen Haaren geben wird.
  2. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:
    \(\vec{h}_J=\left(\begin{array}{c}0\\0,5\\0,5\\0\end{array}\right)\).
    Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile für August desselben Jahres.
    Entscheiden Sie, ob mit der Übergangsmatrix \(M\) die Bevölkerungsanteile für den Monat Mai desselben Jahres berechnet werden können.
    Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.
  3. Die Einwohner Phantasias ändern das monatliche Wechselverhalten für ihre Haarfarben entsprechend dem folgenden Übergangsgraphen.
     
     - Abbildung 1

    Zeigen Sie, dass die Haarfarbe rot (r) nur nach einer geraden Anzahl von Wechseln wieder erreicht werden kann.
    Erstellen Sie einen neuen Übergangsgraphen, der das Wechselverhalten der Einwohner im jeweils zweimonatigen Abstand darstellt.

(6 + 11 + 7 BE)

Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße 15 m, 20 m und 6 m.

 - Abbildung 1

Am Ort \(L(3 | 2| 5)\) befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

 

  1. Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt \(P(7| 20| 4)\) auf die rechte Wand auftreffen. Bestimmen Sie den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.
    Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor \(\left(\begin{array}{c}4\\10\\-1\end{array}\right)\) eingestellt, so trifft das Laserlicht im Punkt \(Q\) auf die rechte Wand auf.
    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(Q\). (Zur Kontrolle: \(Q(10,2| 20| 3,2) \))
    Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(Q\) vom Laser.
    Der Laser wird so eingestellt, dass alle Laserstrahlen in der Ebene \(E\) mit
    \(E:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\0\\-0,5\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}0\\10\\0\end{array}\right)\) verlaufen.
  2. Alle vom Laserstrahl auf der rechten Wand getroffenen Punkte liegen auf einer Geraden. Zeigen Sie, dass diese Gerade durch \(g:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}10\\20\\3,25\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\0\\1,25\end{array}\right)\) angegeben werden kann.
    Aus Sicherheitsgründen wird gefordert, dass der Laserstrahl die rechte Wand nicht unterhalb einer Höhe von 2 Metern treffen darf.
    Untersuchen Sie, ob diese Forderung eingehalten wird.
  3. Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt \(A(15| 4| 2)\) bis zum Punkt \(B(15|18| 2)\) verläuft.
    Bestimmen Sie für den Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}2k\\10\\-0,5k\end{array}\right)\) des Laserstrahls einen Wert für \(k\) so, dass der Laserstrahl mit der Strecke durch \(A\) und \(B\) einen Winkel von 60° einschließt.

(9 + 9 + 6 BE)

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