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Originalprüfung EA 1


Analysis

Aufgabe 1

Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum von Buchen durch Funktionen \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(t)=a \cdot (1-e^{-0,02 \cdot t})^2 ;\quad t \geq 0\)

und dem Parameter \(a \geq 0\). (Die Funktion \(f_a\) ist für alle \(t \in \mathbb{R}\)  definiert, wird aber nur für \(t \geq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, \(f_a(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\ m\) aufgefasst. Der Zeitpunkt des Keimens des Buchensamens wird durch \(t=0\) festgelegt.

a)

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass gemäß der Modellierung durch eine Funktion  \(f_a\) die Höhe einer Buche ständig zunimmt.
  2. Bei einer \(10\) Jahre alten Buche wird eine Höhe von \(1,15\ m\) gemessen. 
    Berechnen Sie den Parameterwert von \(a\) derjenigen Funktion \(f_a\), die das Höhenwachstum dieser Buche beschreibt.
  3. Erklären Sie die Bedeutung des Parameters \(a\) für das durch die Funktion \(f_a\) beschriebene Höhenwachstum einer Buche.
    [Zur Kontrolle: \(f'_a(t)=0,04a \cdot e ^{-0,02t} \cdot ( 1-e^{-0,02t})\)]
  • Punkte:  14

Im Folgenden wird eine Buche betrachtet, deren Höhenwachstum durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung

\(f(t)=f_{35}(t)=35 \cdot ( 1-e^{-0,02 \cdot t} );\quad t \geq 0\)

modelliert wird. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 dargestellt.

b)

  1. Begründen Sie, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als \(35\ m\) werden kann.
  2. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Buche zum Zeitpunkt \(t_1=50 \cdot \ln(2)\) am stärksten wächst.
    [Hinweis: In Abbildung 2 ist auch der Graph von \(f'\) dargestellt.
    Zur Kontrolle: \(f'(t)=1,4 \cdot ( e^{-0,02t} -e^{-0,04t} )\)\(f''(t)=0,028 \cdot ( e^{-0,04t} -e^{-0,02t} )\)]

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 1
 
  • Punkte:  14

c)

In Abbildung 2 ist neben dem Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit \(f'\) der oben genannten Buche auch der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit \(g'\) einer zweiten Buche mit der Gleichung

\(g'(t)=1,1 \cdot ( e^{-0,02 \cdot t} -e^{-0,04 \cdot t} );\quad t \geq 0\)

dargestellt. Die zweite Buche hat an einem anderen Standort zum selben Zeitpunkt wie die erste Buche gekeimt.

  1. Begründen Sie anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt \(t>0\) eine größere Höhe hat als die zweite Buche.
  2. Bestimmen Sie durch Integration eine Gleichung einer Stammfunktion \(h\) von \(g'\)
    [Mögliches Ergebnis: \(h(t)=27,5 \cdot (e^{-0,05 \cdot t} -2 \cdot e^{-0,02 \cdot t} )\)]
  3. Jemand behauptet, dass die beiden Buchen im Alter von \(50\) Jahren gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens \(3,50\ m\) aufweisen müssten.
    Prüfen Sie, ob die Behauptung wahr ist.

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 2
 
  • Punkte:  12

d)

Wissenschaftliche Untersuchungen haben ergeben: Bäume erreichen die Hälfte ihrer Endhöhe in der ersten Hälfte ihrer Lebenszeit, und zwar nachdem ihre Wachstumsgeschwindigkeit ihr Maximum hatte. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Buche, deren Höhenwachstum durch die Funktion \(f\) modelliert wird, ein Lebensalter von \(350\) Jahren erreicht.

  1. Begründen Sie, dass es zur Vereinfachung möglich ist, von einer Endhöhe dieser Buche von \(35\ m\) auszugehen.
  2. Zeigen Sie, dass unter dieser Voraussetzung die halbe Endhöhe dieser Buche zum Zeitpunkt \(t_2=-50 \cdot \ln(1-\sqrt{0,5} )\) erreicht wird.
  3. Prüfen Sie, ob die Modellierung des Höhenwachstums dieser Buche mit den Ergebnissen der wissenschaftlichen Untersuchungen verträglich ist.
  • Punkte:  10

Aufgabe 2

Eine Firma baut Sprungschanzen für BMX-Fahrer in verschiedenen Formen, deren seitliches Profil jeweils durch den Graphen einer Funktion \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(x)= - \frac{1}{4 \cdot a^2}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\)

beschrieben wird, mit \(3,2 \leq a \leq 4\) (\(x\)\(a\) und \(f_a(x)\) in Metern). Die Funktionen \(f_a\) sind für alle \(c \in \mathbb{R}\) definiert, werden aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet.

Die Sprungschanzen werden ausgehend vom Startpunkt \(S_a(-8|f_a(-8))\) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt \(A(0|0)\) auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die \(x\)-Achse festgelegt ist.

Der Funktionsgraph der Beispielfunktion \(f_{3, 6}\) ist in der Abbildung 1 dargestellt.

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 3
 

a)

  1. Weisen Sie nach, dass die durch die Funktion \(f_a\) beschriebene Profillinie der Sprungschanze im Bereich \(- \sqrt 3 \cdot a < x < 0\) unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft.
  2. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des tiefsten Punktes \(T_a\) des Sprungschanzenprofils.
    [Zur Kontrolle: \(T_a \left( -a | - \frac{1}{2}a \right)\)]
  3. Geben Sie eine Gleichung der Funktion \(k\) an, auf deren Graph alle Tiefpunkte \(T_a\) der Funktionsgraphen von \(f_a\) liegen.
  • Punkte:  18

b)

Bei der Firma wird eine Sprungschanze bestellt, die im Punkt \(S_a(-8|f_a(-8))\) die Steigung \(-3\) haben soll.

  1. Berechnen Sie den Wert von \(a\), für den die Sprungschanze im Punkt \(S_a\) die Steigung \(-3\) hat, und die Höhe über dem Erdboden, in der sich bei dieser Sprungschanze der Startpunkt \(S_a\) befindet.
    [Zur Kontrolle: \(a= \frac {8 \sqrt 5 }{5}\)]
  2. Laut Angabe der Firma hat die bestellte Sprungschanze zwischen dem Startpunkt \(S_a\) und dem Absprungpunkt \(A\) die durchschnittliche Steigung \(-\frac{1}{2}\).
    Prüfen Sie diese Angabe und beurteilen Sie ihre Aussagekraft.
  3. Die bestellte Sprungschanze ist 2 m breit. In dem Bereich, in dem ihr Profil unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft, muss Erde ausgehoben werden.
    Berechnen Sie, wie groß das Erdvolumen ist, das bis zur Profillinie dieser Sprungschanze ausgehoben werden muss.
  • Punkte:  17

c)

  1. Zeigen Sie, dass alle Sprungschanzen, deren Profil durch eine der Funktionen \(f_a\) gegeben ist, im Absprungpunkt \(A\) dieselbe Steigung haben.
  2. Ein BMX-Fahrer macht nach dem Abheben von der Sprungschanze im Punkt \(A\) einen 4 m weiten Sprung. Seine zwischen den Punkten \(A\) und \(B(4|0)\) parabelförmig verlaufende Flugbahn soll durch den Graphen einer quadratischen Funktion \(q\) beschrieben werden, der im Punkt \(A\) ohne Knick an die Profillinie der Sprungschanze anschließt (siehe Abbildung 2, gestrichelte Linie). In dieser vereinfachten Modellierung wird die räumliche Ausdehnung von Fahrer und BMX-Rad vernachlässigt.
    Leiten Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion \(q\) her.
    [Zur Kontrolle: \(q(x)=- \frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{4}x;\quad 0 \leq x \leq 4\)]
  3. Rechts vom Punkt \(A\) soll ein Aufsprunghügel angelegt werden, dessen seitliches Profil durch den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung
    \(h(x)= \frac{3}{100}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x;\quad 0 \leq x \leq 5\)
    beschrieben wird (siehe Abbildung 2).
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(C\), in dem BMX-Fahrer aus (2) den größten vertikalen Abstand vom geplanten Aufsprunghügel hätte

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 4
 
 

 

  • Punkte:  15

Aufgabe 3

Gegeben ist eine Schar von Funktionen \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(x)=(a^2x+a) \cdot e^{-ax};\quad x \in \mathbb{R}\),

wobei \(a\) eine positive reelle Zahl ist.

Der Graph der Funktion \(f_1\) wird in der Abbildung dargestellt.

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 5
 

a)

  1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f_a\) mit den Koordinatenachsen.
  2. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \(f_a\).
    [Zur Kontrolle: \(f'_a=-a^3 x e^{-ax};\ f''_a=a^3e^{-ax}(ax-1)\)]  
  3. Begründen Sie, dass die Funktion \(f_a\) ein globales Maximum besitzt.
  • Punkte:  17

b)

In a) (2) ergibt sich der Wendepunkt \(W_a \left( \left. \frac{1}{a} \right| \frac{2a}{e} \right)\) für die Funktion \(f_a\).
Weisen Sie nach, dass die Wendetangente \(g_a\) im Punkt \(W_a\) mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche einschließt, deren Inhalt unabhängig vom Parameter \(a\) ist.
[Zur Kontrolle: \(g_a(x)= -\frac{a^2}{e}x+\frac{3a}{e};\quad x \in \mathbb{R}\)]

  • Punkte:  7

c)

  1. Bestimmen Sie mithilfe von Integrationsverfahren eine Stammfunktion \(F_a\) der Funktion \(f_a\).
    [Zur Kontrolle: Die Funktion \(F_a\) mit der Gleichung
    \(F_a(x)=-(ax+2)e^{-ax};\quad x \in \mathbb{R}\)
    ist eine mögliche Stammfunktion.]
  2. Der Punkt \(W_a\) ist wie in b) definiert und der Punkt \(H_a(0|a)\) ist ein Hochpunkt der Funktion \(f_a\). Der Punkt \(O\) sei der Ursprung des Koordinatensystems.
    Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von dem Graphen der Funktion \(f_a\) und den Ursprungsgeraden \(OH_a\) und \(OW_a\) eingeschlossen wird. 
  • Punkte:  12

d)

  1. Man betrachtet die Funktion \(f_1\) der Schar, das heißt, es gilt
    \(f_1(x)=(x+1)e^{-x};\quad x \in \mathbb{R}\)
    Weisen Sie nach: Für einen Punkt \(P(u|f_1(u))\) des Graphen \(f_1\) ist die Ursprungsgerade \(OP\) genau dann orthogonal zur Tangente in \(P\) an den Graphen von \(f_1\), wenn \(e^{2u}-u-1=0\) gilt.
  2. Gegeben ist die Funktion \(h\) mit der Gleichung
    \(h(x)=e^{2x}-x-1;\quad x \in \mathbb{R}\)
    Zeigen Sie, dass die Funktion \(h\) für \(x<-\ln \sqrt 2\) streng monoton fallend und für \(x>-\ln \sqrt 2\) streng monoton steigend ist.
  3. Begründen Sie, dass die Funktion \(h\) im Intervall \(\left] -\infty; - \ln( \sqrt 2 ) \right]\) einen Vorzeichenwechsel besitzt.
  4. Beweisen Sie: Es gibt genau 2 Punkte auf dem Graphen von \(f_1\), welche die Orthogonalitätsbedingung aus d) (1) erfüllen.
[Hinweis: Ohne Begründung darf benutzt werden, dass jede streng monotone Funktion höchstens eine Nullstelle besitzt.]

Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Aufgabe 4

An einer Schule wird eine Mathematikausstellung unter dem Motto „Mathematik zum Anfassen und Mitmachen“ ausgerichtet.

Eines der ausgestellten Experimente besteht aus einer annähernd punktförmigen Lichtquelle, einer Leinwand, auf die verschiedene unregelmäßige Dreiecke gezeichnet sind, und einem Drahtmodell eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks. Dieses Drahtmodell gilt es so zwischen Lichtquelle und Leinwand zu halten, dass sein Schatten exakt mit einem der Dreiecke auf der Leinwand zur Deckung gebracht wird.

Die Abbildung zeigt eine Prinzipdarstellung des Experiments.

 

 - Abbildung 1

 

In dieser Aufgabe ist die Leinwand die \(x_2 x_3\)-Ebene, die Position der Lichtquelle ist \(L(40|10|10)\), die Längeneinheit 1 dm.

Das Drahtmodell wird zunächst so zwischen Lichtquelle und Leinwand gehalten, dass seine Ecken in den Punkten \(A(30|10|10)\)\(B(32|11|12)\) und \(C(31|12|8)\) liegen.

a)

  1. Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks \(ABC\).
  2. Bestimmen Sie die Position des rechten Winkels im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
  • Punkte:  10

b)

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte \(A'\)\(B'\) und \(C'\) des Schattens, den das Drahtmodell auf die Leinwand wirft.
  2. Zeigen Sie, dass bei der Projektion des Dreiecks \(ABC\) auf das Schattendreieck \(A'B'C'\) die Größen aller Innenwinkel verändert werden.
    [Zur Kontrolle: \(A'(0|10|10)\)\(B'(0|15|20)\)\(C' \left( 0 \left| \frac{170}{9}\right| \frac{10}{9} \right)\)]
  • Punkte:  19

c)

Auf der Leinwand ist das Dreieck \(R'S'T'\) mit den Eckpunkten \(R' \left( 0 \left| \frac{22}{3} \right| \frac{22}{3} \right)\)\(S'\) und \(T'\) aufgezeichnet. Das Drahtmodell wird so zwischen Lichtquellen und Leinwand gehalten, dass sein Schatten mit dem Dreieck \(R'S'T'\) auf der Leinwand zur Deckung kommt. Die Position \(S(26|11|7)\) und \(T(23|8|7)\) der beiden 45°-Ecken des Drahtmodells werden als bekannt vorausgesetzt, während die Position \(R\) der 90°-Ecke, deren Schatten auf der Leinwand die Position \(R'\) hat, bestimmt werden soll.

  1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(LR'\) an, auf der der Lichtstrahl verläuft, der von der Position \(L\) der Lichtquelle ausgeht und im Punkt \(R'\) auf die Leinwand trifft.
  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der alle Punkte liegen, die von den Punkten \(S\) und \(T\) gleichen Abstand haben.
    [Zur Kontrolle: \(E: x_1+x_2=34\)]
  3. Berechnen Sie nun die Koordinaten der Position \(R\) der 90°-Ecke des Drahtmodells.
  4. Die Position \(R\) könnte nicht mithilfe der Ebene \(E\) aus (2) bestimmt werden, wenn die Position der Lichtquelle \(L\) in dieser Ebene läge.
    Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Bestimmung der Position \(R\) der 90°-Ecke des Drahtmodells, der die Ebene \(E\) aus (2) nicht verwendet.
  • Punkte:  21

Aufgabe 5

In der Ebene \(\mathbb{R}^2\) ist die Abbildung \(\alpha\) mit der Gleichung

\(a\left( \vec{x} \right) = M \cdot\vec{x} + \vec{c}\) mit \(M=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}\)\(\vec{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\) und \(\vec{c}= \begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\)

durch die folgenden Eigenschaften gegeben:

Der Punkt \(P(0|4)\) wird durch \(\alpha\) auf den Punkt \(P'(6|1)\) abgebildet.
Genau die Punkte der Geraden \(g: x_1-x_2=-1\) werden durch \(\alpha\) auf sich selbst abgebildet.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch die Matrix \(M\) und den Verschiebungsvektor \(\vec{c}\) der Abbildung \(\alpha\) mithilfe geeigneter Punkte und ihrer Bildpunkte.
[Zur Kontrolle: \(M=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)\(\vec{c} = M=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)]

  • Punkte:  10

b)

  1. Zeigen Sie, dass \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=-2\) die Eigenwerte der Matrix \(M\) sind.

  2. Bestimmen Sie zu diesen Eigenwerten je einen Eigenvektor.

  3. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus (1) und (2) im Hinblick auf Existenz und Lage von Fixgeraden, d. h. von Geraden, die durch \(\alpha\) auf sich selbst abgebildet werden. 

  • Punkte:  14

c)

  1. Zeigen Sie, dass jede Gerade, die durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden \(g\) liegt, und seinen Bildpunkt verläuft, parallel zur Geraden \(PP'\) ist.

  2. Der Bildpunkt \(Q'\) des Punktes \(Q(3|0)\) soll nun geometrisch konstruiert werden. Stellen Sie diese geometrische Konstruktion grafisch dar und erklären Sie Ihr Vorgehen.

  • Punkte:  14

d)

Die Abbildung \(\alpha\) gehört zu einer Menge von Abbildungen \(\alpha_k\), die die Abbildungsgleichung

\(\alpha_k( \overset{\rightharpoonup}x ) = \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2k & 2 \\ k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(k \neq 0\)

besitzen.

  1. Zeigen Sie, dass alle Abbildungen \(\alpha_k\) den Punkt \(P(0|4)\) auf denselben Bildpunkt \(P'\) abbilden.

  2. Zeigen Sie, dass alle Abbildungen \(\alpha_k\) genau einen gemeinsamen Fixpunkt besitzen.

  3. Eine Abbildung \(\alpha_k\) heißt „Schrägspiegelung“, wenn die zugehörige Matrix \(M\) die Eigenwerte \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=-1\) besitzt.
    Bestimmen Sie den Wert von \(k\), für den die Abbildung \(\alpha_k\) eine Schrägspiegelung ist.

  • Punkte:  12

Aufgabe 6

Von einem Forstbetrieb werden auf verschiedenen Waldflächen Tannen gezogen. Dort wachsen nur Bäume, die von dem Forstbetrieb angepflanzt wurden.

Entsprechend ihrer Höhe werden die Tannen in 3 Größenklassen eingeteilt: Tannen, die weniger als einen Meter groß sind, gehören zur Größenklasse \(K\) (klein); Tannen, die mindestens einen Meter, aber weniger als 2 Meter groß sind, gehören zur Größenklasse \(M\) (mittel); Tannen, die mindestens 2 Meter groß sind, gehören zur Größenklasse \(G\) (groß).

Jeweils zu Beginn eines festen Zeitraums (Wachstumsperiode), auf den sich im Folgenden die Übergänge zwischen den 3 Größenklassen beziehen, wird eine Bestandsaufnahme durchgeführt. Die Übergangsquoten berücksichtigen, dass abgestorbene, kranke oder beschädigte Bäume im Laufe jeder Wachstumsperiode aus dem Bestand entfernt werden.

a)

Auf einer der Waldflächen erreichen von den Tannen der Größenklasse \(K\) innerhalb einer Wachstumsperiode 50 % die Größenklasse \(G\), während 30 % in der Größenklasse \(K\) verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse \(M\) erreichen innerhalb der Wachstumsperiode 55 % die Größenklasse \(G\text{,}\) während 40 % in der Größenklasse \(M\) verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse \(G\) sind am Ende einer Wachstumsperiode noch 98 % in der Größenklasse \(G\).

Stellen Sie dieses Wachstumsverhalten durch ein Übergangsdiagramm dar und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix, die dieses Wachstumsverhalten beschreibt.
  • Punkte:  10

Auf einer anderen Waldfläche wird eine andere Art von Tannen gezogen. Eine Zählung ergab die folgende Übergangsmatrix \(A\) für das Übergangsverhalten zwischen den oben genannten Größenklassen innerhalb einer Wachstumsperiode.

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 6

In Teilaufgabe b) wird angenommen, dass diese Übergangsquoten auch für die vorangegangenen und folgenden Wachstumsperioden gelten.

b)

Die Bestandsaufnahme zu Beginn einer bestimmten Wachstumsperiode ergibt 450 Tannen der Größenklasse \(K\), 4230 Tannen der Größenklasse \(M\) und 5320 Tannen der Größenklasse \(G\).

  1. Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende dieser Wachstumsperiode.
  2. Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen eine Wachstumsperiode vor dem Zeitpunkt der Bestandsaufnahme.
  3. Zeigen Sie, dass der Gesamtbestand an Tannen am Ende einer beliebigen Wachstumsperiode 95 % des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
  4. Berechnen Sie, nach wie vielen Wachstumsperioden erstmals weniger als 60 % des ursprünglichen Gesamtbestandes an Tannen vorhanden sind.
  • Punkte:  18

Nun wird davon ausgegangen, dass jeweils am Ende einer Wachstumsperiode, innerhalb derer sich der Bestand zunächst gemäß der Übergangsmatrix \(A\) entwickelt hat, in jeder der 3 Größenklassen zusätzliches Nutzholz geschlagen wird.

Insgesamt werden am Ende einer Wachstumsperiode 20 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(K\), 30 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(M\) und 45 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(G\) abgeholzt.

Anschließend werden in der Größenklasse \(K\) so viele Tannen neu gesetzt, wie zuvor insgesamt in allen 3 Größenklassen gefällt wurden.

c)

  1. Bestimmen Sie ausgehend von einem beliebigen Bestandsvektor \(\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\) zu Beginn einer Wachstumsperiode, wie viele Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende der Wachstumsperiode nach dem Fällen und vor dem Wiederaufforsten vorhanden sind.
    [Kontrollergebnis: \(\begin{pmatrix} 0{,}2x_1 \\ 0{,}49x_1 + 0{,}385x_2 \\ 0{,}22x_2 + 0{,}5225x_3 \end{pmatrix}\)]
     
  2. Gesucht ist eine Übergangsmatrix \(C\), die den Übergang zwischen den Größenklassen \(K\)\(M\) und \(G\) innerhalb einer Wachstumsperiode unter Berücksichtigung der abschließenden Fäll- und Wiederaufforstungsarbeiten beschreibt.
    Zeigen Sie, dass \(C= \begin{pmatrix} 0{,}46 & 0{,}345 & 0{,}4275 \\ 0{,}49 & 0{,}385 & 0 \\ 0 & 0{,}22 & 0{,}5225 \end{pmatrix}\) gilt.
     
  3. Begründen Sie, dass nach der Wiederaufforstung am Ende einer Wachstumsperiode der Gesamtbestand an Tannen 95 % des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
     
  4. Am Ende jeder Wachstumsperiode sollen nun nach der Wiederaufforstung noch zusätzlich Bäume der Größenklasse \(K\) gepflanzt werden, jeweils ein fester Anteil \(\alpha\) des gesamten Anfangsbestandes.
    Bestimmen Sie diesen Anteil \(\alpha\) so, dass der Gesamtbestand an Tannen im Laufe von 2 Wachstumsperioden um 10 % zunimmt.
  • Punkte:  22

Stochastik

Hinweis: Um diese Aufgabe lösen zu können, sollte man folgende Lerneinheiten bearbeitet haben: 

BernoulliverteilungLaplace-ExperimentBaumdiagrammBedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit ; Zufallsvariablen und Hypothesentests

Aufgabe 7

Laut ADFC (Allgemeiner Deutscher Fahrrad Club) nutzen \(\frac{2}{3}\) aller Deutschen ihr Fahrrad privat oder auf dem Weg zur Arbeit mindestens einmal im Monat.
In der gesamten Aufgabe sollen alle genannten Anteile als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

a)

In einer repräsentativen Umfrage werden 100 zufällig ausgewählte Deutsche befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

E1: Unter den Befragten nutzen genau 70 mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.

E2: Unter den Befragten nutzen mindestens 70 mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.

E3: Unter den Befragten nutzen mindestens 60 und höchstens 70 mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.
  • Punkte:  8

b)

Bei Kontrollen der Polizei werden Fahrräder, die Mängel aufweisen, beanstandet. Bei diesen Prüfungen hat durchschnittlich \(\frac{1}{6}\) der Fahrräder Mängel.

Bestimmen Sie die Anzahl \(n\) der Fahrräder, die von der Polizei kontrolliert werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Fahrrad mit Mängeln entdeckt wird.
  • Punkte:  6

c)

Die Nutzung des Fahrrads als regelmäßiges Verkehrsmittel auf dem Weg zur Arbeit hängt unter anderem von der Ortsgröße ab.

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 7
 - Abbildung 1

\(^1\) Quelle: Laufende Raumbeobachtung des Bundesamtes für Bauwesen und Raumordnung (2011)
\(^2\) Fahrradmonitor des ADFC

 

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person aus einer Stadt mit mehr als 100.000 Einwohnern kommt und ihr Fahrrad regelmäßig als Verkehrsmittel nutzt.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person, die angibt, ihr Fahrrad nicht regelmäßig als Verkehrsmittel zu nutzen, aus einer Großstadt mit mehr als 100.000 Einwohnern kommt.
  • Punkte:  9

d)

An dem Jedermann-Radrennen „Rund um den Stausee“ nehmen 200 Hobbyradfahrer teil. Im Ziel erhält jeder, der dort innerhalb einer vorgegebenen Zeit eintrifft, einen Einkaufsgutschein im Wert von 20 Euro.

Die Antrittsgebühr von \(x\) Euro, die jeder Teilnehmer bezahlen musste, berechnete der Veranstalter so, dass die dadurch erzielten Einnahmen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % die Kosten für die Gutscheine übersteigen. Dabei legte er als Wahrscheinlichkeit für das Ankommen eines Fahrers im Zeitlimit den Anteil \(p=0{,}25\) zugrunde, weil im letzten Jahr 25 % der Fahrer innerhalb der vorgegebenen Zeit das Ziel erreichten.

Bestimmen Sie (mit einer geeigneten Approximation), wie groß \(x\) mindestens gewesen sein muss.
  • Punkte:  9

e)

Die Einsatzleitung der Polizei vermutet, dass wegen der häufigen Kontrollen mittlerweile höchstens 10 % der Fahrräder Mängel aufweisen. Sie möchte diese Vermutung überprüfen und, falls sie richtig ist, die Kontrollen nur noch jährlich statt monatlich durchführen. An einem Morgen werden 200 Fahrräder kontrolliert.

Die Polizei hat folgende Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha=0{,}05\) festgelegt: Finden sich in der Stichprobe weniger als 13 Fahrräder mit Mängeln, so wird die Zahl der Kontrollen reduziert, andernfalls nicht.

  1. Bestimmen Sie die Hypothesen, die zu dieser Entscheidungsregel führten. Beschreiben Sie den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang und begründen Sie damit die Wahl der Hypothesen aus der Sicht der Polizei.

Durch einen Irrtum wurde die Kontrolle unabhängig voneinander zweimal durchgeführt. Die beteiligten Polizisten beschließen daraufhin, die Entscheidungsregel ebenfalls zu „verdoppeln“: Finden sich in der Stichprobe von nun 400 Fahrräder weniger als 26 mit Mängeln, so wird die Zahl der Kontrollen reduziert, andernfalls nicht.

  1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art betrug im Test aus (1) gerundet 0,032. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art bei dem neuen Test deutlich kleiner ist.
  2. Zeigen Sie, dass gilt: \(\sigma_{400}=\sqrt2 \cdot \sigma_{200}\), wobei \(\sigma_{200}\) und \(\sigma_{400}\) die Standardabweichungen binomialverteilter Zufallsgrößen mit \(n=200\) bzw. \(n=400\) und unbekanntem \(p\) bezeichnen.
  3. Erläutern Sie, welche Auswirkung dies auf die Berechnung des Annahmebereichs der Hypothese bei Verdopplung des Stichprobenumfangs von 200 auf 400 hat, wenn weiterhin das Signifikanzniveau \(\alpha=0{,}05\) gelten soll.
  • Punkte:  20

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

Aufgabe 8

Bundeslandwirtschaftsministerin Ilse Aigner hat im April 2009 den Anbau von Genmais in Deutschland verboten, da ihrer Ansicht nach Risiken für die Umwelt nicht ausgeschlossen werden konnten. Im Januar 2010 fand eine repräsentative Umfrage unter der deutschen Bevölkerung mit folgender Fragestellung statt: „Sollte der Anbau von Genmais in Deutschland weiterhin verboten bleiben?“

Die Tabelle gibt die Ergebnisse der Umfrage nach Altersgruppen aufgeschlüsselt wieder:

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 8
 

a)

  1. Eine Person wird zufällig aus den 1005 Teilnehmern der Umfrage ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keine Angabe gemacht hat.
  2. Aus den Teilnehmern der Umfrage werden 3 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede dieser 3 Personen mindestens 50 Jahre alt ist und mit „Ja“ geantwortet hat.
  3. Unter den Befragten der Altersgruppe „14 bis 29 Jahre“ befanden sich 57 Schüler. Von diesen antworteten \(\frac{2}{3}\) mit „Ja“. Bestimmen Sie den Anteil der Nicht-Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben.
  • Punkte:  11

b)

Die Befragten der Altersgruppe „14 bis 29 Jahre“ setzen sich aus Schülern und Nicht-Schülern zusammen. Genau \(\frac{2}{3}\) der Schüler haben mit „Ja“ geantwortet, während der Anteil der Nicht-Schüler, die mit „Ja“ geantwortet haben, \(r \approx 83{,}1\,\%\) beträgt.

Die Anzahl \(x\) der Schüler in der Altersgruppe „14 bis 29 Jahre“ kann nun mithilfe der Gleichung

\(\frac{2}{3} \cdot x + r \cdot (211 -x)=166\)

bestimmt werden.

  1. Begründen Sie die Gültigkeit dieser Gleichung.
  2. Ermitteln Sie die gesuchte Anzahl \(x\) der Schüler.
  • Punkte:  6

c)

Die Umfrage wurde auch nach Herkunft der Teilnehmer (West- oder Ostdeutschland) ausgewertet.

Originalprüfung EA 1 - Abbildung 9
 
  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Umfrage, der mit „Ja“ geantwortet hat, aus Westdeutschland stammt.
  2. Aus den Teilnehmern der Umfrage werden 2 Personen zufällig ausgewählt. Beide haben mit „Ja“ geantwortet.
    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite Person aus demselben Teil Deutschlands stammt wie die erste (Ost bzw. West).
  • Punkte:  6

Im folgenden Aufgabenteil sollen die in der obigen Umfrage ermittelten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für die Bevölkerung in Deutschland angenommen werden.

d)

Eine weitere Umfrage unter \(n\) zufällig ausgewählten Personen wird mit derselben Fragestellung durchgeführt.

  1. Angenommen, bei dieser Umfrage werden nur Personen aus der Altersgruppe „50 bis 59 Jahre“ befragt.
    Begründen Sie, dass die Zufallsgröße
    \(X\): „Anzahl der Befragten, die mit ‚Nein‘ geantwortet haben“
    als binomialverteilt angenommen werden kann, und zeigen Sie, dass die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{8}\) beträgt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

  1. unter 40 zufällig in der Altersgruppe „50 bis 59 Jahre“ ausgewählten Personen die Anzahl derer, die mit „Nein“ antworten, genau dem Erwartungswert dieser Altersgruppe entspricht.
  2. von 10 zufällig ausgewählten Personen alle eine Angabe („Ja“ oder „Nein“) machen, wenn diesmal bei der Umfrage nur Personen im Alter von 14 bis 49 Jahren befragt werden.
  • Punkte:  10

e)

Um z. B. den unbekannten Anteil \(p_M\) der Befürworter unter allen Männern zu schätzen, kann man eine Umfrage unter zufällig ausgewählten Männern durchführen, die Anzahl \(X\) der Befürworter in der Umfrage ermitteln und daraus ein 90 %-Konfidenzintervall \(K_M\) für \(p_M\) ermitteln.

  1. Erklären Sie die Bedeutung dieses Intervalls im Sachzusammenhang.

In der tatsächlich durchgeführten Umfrage sprachen sich von den 487 befragten Männern 366 für ein Verbot des Anbaus von Genmais aus, von den befragten 518 Frauen sogar 426. Für den unbekannten Anteil \(p_M\) der Befürworter unter allen Männern wurde als 90 %-Konfidenzintervall daraus näherungsweise das Intervall \(K_M=[0{,}7181; 0{,}7822]\) ermittelt.

  1. Bestimmen Sie aufgrund der Umfrage ein 90 %- Konfidenzintervall \(K_F\) für den unbekannten Anteil \(p_F\) der Befürworter unter den Frauen.
    Gehen Sie dabei ohne Beweis davon aus, dass die Zufallsgröße
    \(​Y\): „Anzahl der Frauen, die mit ‚Ja‘ geantwortet haben“
    binomialverteilt ist und die Laplace-Bedingung \(\delta>3\) erfüllt ist.
  2. Die Konfidenzintervalle \(K_F\) und \(K_M\) überschneiden sich nicht. Interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang.
  • Punkte:  15

 - Abbildung 1

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