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Originalprüfung 2015 Stochastik TeilB AG1


Aufgabe 1

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen \(5\) bzw. \(2\) beschriftet sind (vgl. Abbildung). Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann  also die Werte \(4\)\(10\) oder \(25\) annehmen. Die Zahl \(5\) wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht. 

Originalprüfung 2015 Stochastik TeilB AG1 - Abbildung 1

a) Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von \(10\ \%\) erhält. (Ergebnis: \(2p-2p^2\))

b) Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) gilt: \(E(X)=9p^2+12p+4\)

c) Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von \(16\ \%\) gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\)

d) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\frac 1 9\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(99\ \%\) mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

Aufgabe 2

Eine der Filialen der Handelskette befindet sich in einem Einkaufszentrum, das zu Werbezwecken die Erstellung einer Smartphone-App in Auftrag geben will. Diese App soll die Kunden beim Betreten des Einkaufszentrums über aktuelle Angebote und Rabattaktionen der beteiligten Geschäfte informieren. Da dies mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteilung an der App nur zustimmen, wenn mindestens \(15\ \%\) der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte. Um zu einer Entscheidung zu gelangen, will die Geschäftsführung der handelskette eine der beiden folgenden Nullhypothesen auf der Basis einer Befragung von 200 Kunden auf einem Signifikanzniveau von \(10\ \%\) testen:

\(\mathrm{I}\)  "Weniger als \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

\(\mathrm{II}\) "Mindestens \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

a) Nach Abwägung der möglichen Folgen, die der Finanzchef und der Marketingchef aufgezeigt haben, wählt die Geschäftsführung für den Test die Nullhypothese \(\mathrm{II}\). Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel.

b) Entscheiden Sie, ob bei der Abwägung, die zur Wahl der Nullhypothese \(\mathrm{II}\) führte, die Befürchtung eines Imageverlusts oder die Kostenfrage als schwerwiegender erachtet wurde. Erläutern Sie ihre Entscheidung.

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