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Originalprüfung 2015 Stochastik GA


Aufgabe 2A

Zur Fußballweltmeisterschaft 2014 in Brasilien wurde ein Sammelbuch für die 23 Bilder der deutschen Nationalspieler auf den Markt gebracht. Die zu kaufenden Bilder sind einzeln in undurchsichtiger Folie verpackt. Im Folgenden wird angenommen, dass von jedem Spieler gleich viele Bilder auf dem Markt sind. 

Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Anzahl der gekauften Bilder, die Torwart Neuer zeigen, und wird als binomialverteilt angenommen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Kauf von zehn Bildern mindestens zweimal das Bild von Neuer enthalten ist. Einem Sammler fehlt nur noch das Bild von Torwart Neuer. Bestimmen Sie die Mindestanzahl der zu kaufenden Bilder, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(75\ \%\) mindestens einmal ein Bild von Neuer zu
besitzen.

(8 BE)

b) Ein Supermarkt hat 1000 Bilder im Angebot. Geben Sie die Bedeutung des Intervalls
\(\left[1000\cdot \frac 1 {23}-1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}};\ 1000\cdot \frac 1 {23}+1,96\cdot\sqrt{100\cdot\frac 1 {23}\cdot\frac {22} {23}}\right]\)
im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

c) Jemand möchte eine vollständige Bilderserie haben. Begründen Sie, dass er noch durchschnittlich 23 Bilder erwerben muss, wenn nur noch ein Bild fehlt. 

Untersuchen Sie die Gültigkeit folgender Aussage: Man muss durchschnittlich 46 Bilder erwerben, wenn noch zwei Bilder fehlen.

(5 BE) 

  • Punkte:  17

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien \(A\), \(B\) und \(C\) verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

a) Partei \(A\) führt eine Umfrage unter \(400\) Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei \(A\) wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden. Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei \(A\) \(18\ \%\) beträgt. 

Bestimmen Sie

  • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens \(65\) Personen Partei \(A\) wählen wollen.
  • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\ \%\) liegt.

(8 BE)

b) Es wird eine Umfrage unter \(1000\) Wahlberechtigten durchgeführt. \(34\ \%\) der Personen geben an, Partei \(B\) wählen zu wollen, \(12\ \%\) der Personen geben an, Partei \(C\) wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien \(B\) und \(C\) zusammen mindestens \(50\ \%\) der Stimmen erreichen. 

(5 BE)

Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(95\ \%\), ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.

c) Es werden \(50\) gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten \(70\ \% \) und \(99\ \%\) berechnet.
Die Abbildungen \(1\) und \(2\) zeigen jeweils die \(50\) berechneten Vertrauensintervalle als Strecken übereinander. Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit \(70\ \% \) im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an.
Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit \(70\ \% \) und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit \(99\ \%\) gehört. 

(4 BE)

Originalprüfung 2015 Stochastik GA - Abbildung 1

  • Punkte:  17
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