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Originalprüfung 2015 Stochastik eA (CAS)


Aufgabe 2A

Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her. Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.
Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße \(Y\) den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.
Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_X=0,09\) mm aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert \(\mu_Y=10,12\) mm und einer Standardabweichung \(\sigma_Y=0,11\) mm aus.

  1. ​Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens 9,70 mm beträgt.
    Bestimmen Sie die untere Grenze \(u\) so, dass für 75% aller Außendurchmesser d der Bolzen gilt: \(u\le d\le 9,90\).
    Durch eine neue Vorgabe sollen 90% der Außendurchmesser der Bolzen nur 1% vom Erwartungswert \(\mu_X=9,82\) mm nach unten oder nach oben abweichen.
    Bestimmen Sie die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  2. Es werden der laufenden Produktion 100 Buchsen zufällig entnommen. 
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens 90 aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von 10,00 mm hineinpasst.
  3. Die Zufallsgröße \(W\) mit \(W=Y-X\) ist normalverteilt. Für den Erwartungswert \(\mu_W\) gilt \(\mu_W=\mu_Y-\mu_X\).
    In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi\) dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von
    \(\int\limits^{\mu_W+1,96\sigma_W}_{\mu_W-1,96\sigma_W}\varphi(w)\text{d}w\)
    in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.
    Zeigen Sie mithilfe der Grafik, dass \(\sigma_W> \sigma_X\)  gilt.
    Untersuchen Sie mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als 97,5%.

    Originalprüfung 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 1

(10 + 6 + 8 BE)

Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien A, B und C verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

  1. Partei A führt eine Umfrage unter 400 Personen durch. Die Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei A wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.
    Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei A 18% beträgt.
    Bestimmen Sie
    • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens 65 Personen und höchstens 80 Personen Partei A wählen wollen.
    • das kleinste um den Erwartungswert von \(X\) symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% liegt.
  2. Es wird eine Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten durchgeführt. 34% der Personen geben an, Partei B wählen zu wollen, 12% der Personen geben an, Partei C wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien B und C zusammen mindestens 50% der Stimmen erreichen.
    Untersuchen Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist. 
    Eine zweite Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten liefert für Partei B zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% das Vertrauensintervall \([0,3204;b]\).
    Bestimmen Sie den Wert von \(b\).
  3. Es werden 1000 gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten 75% und 99% berechnet.
    Die folgenden beiden Abbildungen zeigen als Häufigkeitsdiagramme jeweils die linken Intervallgrenzen der zugehörigen Vertrauensintervalle.

    Originalprüfung 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 2

    Originalprüfung 2015 Stochastik eA (CAS) - Abbildung 3

    Geben Sie eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% im Hinblick auf den unbekannten Anteil \(p\) der Grundgesamtheit an.
    Entscheiden Sie, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 75% und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 99% gehört.

(9 + 10 + 5 BE)

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