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Originalprüfung 2015 Lineare Algebra\Geometrie GA


Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s) oder braun (b). Die nebenstehende Übergangsmatrix \(M\) beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: 
\(\\ \vec h=\begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}\)

\(\qquad\qquad r\qquad\ s \qquad\ b\\M=\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5 \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)

a) Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der linken Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:

\(\vec h_j=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\)
Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile mit roten, schwarzen bzw. braunen Haaren für den Monat September desselben Jahres.  
Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.

(11 BE)

b) Ein anderes Wechselverhalten der Bevölkerung wird durch die nebenstehende Matrix \(N\) beschrieben. Entscheiden Sie für jeden der folgenden Fälle, ob eine Matrix \(N\) angegeben werden kann: 

  • Braunhaarige Einwohner haben im Folgemonat nie rote Haare. 
  • Alle Einwohner werden langfristig rote Haare haben. 

 \(\qquad\qquad\ r\ \ \quad\quad s \qquad\quad b\\N=\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2\cdot w\\0&0,5&0,4-w \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)

(6 BE)

  • Punkte:  17

Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße \(15\ m\)\(20\ m\) und \(6\ m\). Am Ort \(L(3 | 2| 5)\) befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

Originalprüfung 2015 Lineare Algebra\Geometrie GA - Abbildung 1

a) Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt \(P(7| 20| 4)\) auf die rechte Wand auftreffen. Bestimmen Sie den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Weisen Sie nach, dass das Laserlicht im Punkt \(A( 15 | 20 | 2)\) auf die rechte Wand auftrifft, wenn die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor \(\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}\) eingestellt wird.
Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(A\) vom Laser.

(9 BE)

b) Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt \(B(15| 0| 2)\) bis zum Punkt \(A (15 | 20 | 2) \) verläuft. 
Zeigen Sie, dass der Laserstrahl senkrecht zu dieser Strecke verläuft, wenn er den Punkt \(C(15 | 2| 2)\) trifft. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes \(D\), der auf der Strecke \(BA\) liegt und vom Laser den gleichen Abstand hat wie der Punkt \(B\) vom Laser. 

(8 BE)

  • Punkte:  17
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