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Originalprüfung 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 1 GK


Das unten dargestellte quaderförmige Holzgerüst hat eine Länge und Breite von jeweils \(3\,\text{m}\) und eine Höhe von \(2,50\,\text{m}\). Als Sonnen- und Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten \(S(3|2|2,5)\), \(T(3|3|0,5)\) und \(U(0|3|2)\) befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt \(A \approx 3,44\,\text{m}^2\).

Originalprüfung 2015 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Aufgabe 1 GK - Abbildung 1
 

Aufgabe 1

Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke bleibt dabei unberücksichtigt.

  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Zeichnen Sie das Sonnensegel in die obige Abbildung und berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene \(E\).
\([\text{zur Kontrolle:}\quad \text{E}: x+4y+2z=16]\)

  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt \(P(2,5|2,5|0)\) noch \(h = 2,0\,\text{m}\) betragen. Prüfen Sie, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die Stehhöhe über dem Punkt \(P\) beeinträchtigt wird. 

  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene \(DCGH\)

  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt \(C\) konzipiert.
Bestimmen Sie die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt. 
\(​[\text{zur Kontrolle:}\;d \approx 0,87\,\text{m}]\) 

  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels mit dem Eckpunkt \(C\) verbinden. Berechnen Sie, wie viel Prozent des Raumes innerhalb des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt. 

  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung \(\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 0,5\\-0,25\\-1,25\end{array}\right)\). Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken. Dieser trockene Teil wird durch die Punkte \(S'(4|1,5|0)\), \(T'(3,2|2,9|0)\) und \(U'\) begrenzt. Berechnen Sie die Koordinaten von \(U'\) und stellen Sie diese Fläche in Ihrer Zeichnung dar. 

  • Punkte:  4
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