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Originalprüfung 2015 Gesamtklausur Teil B


Analysis

Aufgabenbereich 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\) und Definitionsbereich \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{-3;-1\}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

\(\frac{2}{(x+1)(x+3)};\ \frac{2}{x^2+4x+3};\ \frac{1}{0,5\cdot(x+2)^2-0,5}\)

b) Begründen Sie, dass die \(x\) - Achse horizontale Asymptote von \(G_f\) ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_f \) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f \) mit der \(y\)- Achse.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p: x\mapsto 0,5\cdot (x+2)^2-0,5\), die die Nullstellen \(x=-3\) und \(x=-1\)hat. Für \(x \in D_f\) gilt \(f(x)= \frac 1{p(x)}\).

 

 - Abbildung 1

 

c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen \(f'\) und \(p'\) die Beziehung \(f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}\) für \(x \in D_f\).

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von \(f'(x)\) und \(p'(x)\), dass \(x=-2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist und dass \(G_f\) in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend sowie in \(]-2;-1[\) streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_f\) an.

d) Berechnen Sie \(f(-5)\) und \(f(-1,5)\) und skizzieren Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(h:x\mapsto\frac 3 {e^{x+1}-1}\) mit Definitionsbereich \(D_h=]-1;+\infty[\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_h\) von \(h\).

 

 - Abbildung 1
 

a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\lim\limits_{x\mapsto +\infty} h(x)=0\) gilt. Zeigen Sie rechnerisch für \(x\in D_h\), dass für die Ableitung \(h'\) von \(h\) gilt: \(h'(x)<0\).

Gegeben ist ferner die in \(D_h\) definierte Integralfunktion \(H_0=x\mapsto\int_0^xh(t)\ \mathrm{d}t\).

b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

\(\alpha\)) Der Graph von \(H_0\) ist streng monoton steigend.

\(\beta\)) Der Graph von \(H_0\) ist rechtsgekrümmt.

c) Geben Sie die Nullstele von \(H_0\) an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(H_0(-0,5)\) sowie \(H_0(3)\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von \(H_0\) im Bereich \(-0,5 \leq x \leq 3\).

Aufgabe 3

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion \(h\) aus Aufgabe 2 beschreibt für modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet \(h(x)\) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und \(x\)die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt \(x\), zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf \(0,01\) Gramm pro Minute zurückgegangen ist. 

Die in \(\mathbb R\backslash\{-3;-1\} \) definierte Funktion \(k:x \mapsto3\left(\frac 1 {x+1}-\frac 1{x+3}\right)-0,2\) stellt im Bereich \(-0,5 \leq x \leq2\) eine gute Näherung für die Funktion \(h\) dar.

b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgeht. 

c) Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int_0^1h(x) \mathrm dx \), indem Sie den Zusammenhang \(\int_0^1h(x) \mathrm dx \approx\int_0^1k(x) \mathrm dx \) verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

Der Graph \(G_f\) einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f:x\mapsto ax^4+bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\ (0 \mid 0)\) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

a) \(W\ (1\mid -1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_f\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von \(a\) und \(b\)

(Ergebnis: \(a=1 ,\ b=-2\))

b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_f\).

Die Gerade \(g\) schneidet \(G_f\) in den Punkten \(W\) und \((2 \mid 0)\).

c) Zeichnen Sie unter der Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_f\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an.

d) \(G_f\) und die \(x\)-Achse schließen im \(IV\).Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_n:x\mapsto x^4-2x^n\) mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_0:x\mapsto x^4-2\)

a) Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen \(f_0, f_1, f_2\) bzw. \( f_4\). Ordnen Sie jeder dieser Funktion den passenden Graphen zu und bgründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

 

 - Abbildung 1
 

b) Betrachtet werden nun die Funktionen \(f_n\) mit \(n>4\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(n\) das Verhalten dieser Funktionen für \(x\rightarrow +\infty\) und für \(x\rightarrow - \infty\) an.

Aufgabe 3

In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der
Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion \(g:t\mapsto -\frac {\pi} 8 \mathrm{sin} (\frac{\pi} 2 t)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb {R}_0^+\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und \(g(t)\) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion \(g\) beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

 

 - Abbildung 1
 

a) Berechnen Sie \(g(1,5)\) und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

b) Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel.

c) Berechnen Sie \(\int_2^4g(t) \mathrm d t\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. (Teilergebnis: Wert des Integrals:\(0,5\))

d) Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich \(3,5\) Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c) in einem Koordinatensystem für \(0\leq t \leq 8 \) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. 

Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus \(4\) Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

e) Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um \(20\%\) höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form \(h: t \mapsto a\cdot \mathrm{sin}(b\cdot t)\)  beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von \(b\).

Geometrie

Aufgabenbereich 1

Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E:x_1+x_3=2\), der Punkt \(A(0\mid \sqrt2\mid 2)\) und die Gerade \(g:\vec X = \vec A+\lambda\cdot \begin{pmatrix}-1\\ \sqrt2\\1 \end{pmatrix}\)\(\lambda \in \mathbb R\), gegeben. 

a) Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene \(E\) im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene \(E\) die Gerade \(g\) enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(E\) mit der \(x_1\)-Achse und mit der \(x_3\)-Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene \(E\) sowie den Verlauf der Geraden \(g\) in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).

Die \(x_1x_2\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerade Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\vec v=\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt 2\\ 1 \end{pmatrix}\) beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

b) Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels,unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Wiertelkreis beschrieben wird, der in Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M(0\mid 3\sqrt2\mid2)\).

c) Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im Punkt \(B\). Im Modell stellt \(B\) den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell. (Teilergebnis: \(B(-1\mid 2\sqrt2\mid 3)\))

d) Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt \(C\) beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts \(C\) gilt: \(\vec C=\vec M + \vec v\).

e) Ein Wagen der Achterbahn durchfrährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke \([AB]\) und dem Viertelkreis von \(B\) nach \(C\) dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von \(15\frac m s\). Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem \(10\ \mathrm m\) in der Realität entspricht.

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl.Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck \(ABCD\) mit \(A(5\mid -4\mid 0)\) und \(B(5\mid 4 \mid 0)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M(2,5 \mid 0 \mid 2)\) des Rechtecks \(ABCD\) dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht \(10\ \mathrm{cm}\) in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die \(x_1\ x_2\)-Ebene beschrieben.

 

 - Abbildung 1
Abb. 1

 - Abbildung 1

Abb. 2

a) Bestimmen Sie die Koordianten des Punkts \(C\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der das Rechteck \(ABCD\) liegt, in Normalenform. (mögliches Teilergebnis: E: \(4x_1+5x_3-20=0\))

b) Die Grundpalette ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel \(\alpha\) geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad \(\varphi\) des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha+\varphi=90°\) gelten. Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad \(\varphi\) die Sonnenuhr gebaut wurde.

c) Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \([MS]\) mit \(S(4,5\mid0 \mid4,5)\) dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau. Sonnenlicht, das an einem Sonntag zu einembestimmten Zeitpunkt \(t_0\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Gerade mit dem Richtungsvektor \(\vec u=\begin{pmatrix}6 \\6 \\-13\end{pmatrix}\) dargestellt.

d) Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

e) Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \([BC]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AB]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AD]\). Begründen Sie, dass der betrachtete Zeitpunkt \(t_0\) vor 12 Uhr liegt.

Stochastik

Aufgabenbereich 1

Aufgabe 1

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen \(5\) bzw. \(2\) beschriftet sind (vgl. Abbildung). Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann  also die Werte \(4\)\(10\) oder \(25\) annehmen. Die Zahl \(5\) wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht. 

 

 - Abbildung 1
 

a) Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von \(10\ \%\) erhält. (Ergebnis: \(2p-2p^2\))

b) Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) gilt: \(E(X)=9p^2+12p+4\)

c) Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von \(16\ \%\) gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\)

d) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\frac 1 9\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(99\ \%\) mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

Aufgabe 2

Eine der Filialen der Handelskette befindet sich in einem Einkaufszentrum, das zu Werbezwecken die Erstellung einer Smartphone-App in Auftrag geben will. Diese App soll die Kunden beim Betreten des Einkaufszentrums über aktuelle Angebote und Rabattaktionen der beteiligten Geschäfte informieren. Da dies mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteilung an der App nur zustimmen, wenn mindestens \(15\ \%\) der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte. Um zu einer Entscheidung zu gelangen, will die Geschäftsführung der handelskette eine der beiden folgenden Nullhypothesen auf der Basis einer Befragung von 200 Kunden auf einem Signifikanzniveau von \(10\ \%\) testen:

\(\mathrm{I}\)  "Weniger als \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

\(\mathrm{II}\) "Mindestens \(15\ \% \) der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

a) Nach Abwägung der möglichen Folgen, die der Finanzchef und der Marketingchef aufgezeigt haben, wählt die Geschäftsführung für den Test die Nullhypothese \(\mathrm{II}\). Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel.

b) Entscheiden Sie, ob bei der Abwägung, die zur Wahl der Nullhypothese \(\mathrm{II}\) führte, die Befürchtung eines Imageverlusts oder die Kostenfrage als schwerwiegender erachtet wurde. Erläutern Sie ihre Entscheidung.

Aufgabenbereich 2

Aufgabe 1

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

 

 - Abbildung 1
 
 - Abbildung 1
 

 

Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“ 
S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

a) Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen \(I\) bis \(VI\) jeweils das Ereignis E beschreiben.

\(\begin{array}\\ I& M\cap S&&II& M\cup S\\ III&\overline{M\cup S}&&IV&(M\cap \overline S)\cup(\overline M \cap S)\cup(\overline M\cap \overline S)\\ V&(M\cap S)\cup(M \cap \overline S)\cup(\overline M\cap S)&&VI &\overline{M\cap S} \end{array}\)

b) Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. 

\(p_1\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist. 

\(p_2\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

c) Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von \(98\ \%\) eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_S(M)\)

 

 

Aufgabe 2

Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt“ sitzen \(30\) Senioren im Publikum.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter \(30\) zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens \(17\) und höchstens \(23\) ein Mobiltelefon besitzen.

b) Von den \(30\) Senioren im Publikum besitzen \(24\) ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser Senioren ein Mobiltelefon besitzen.

Aufgabe 3

Eine Handelskette hat noch zahlreiche Smartphones des Modells Y3 auf Lager, als der Hersteller das Nachfolgemodekk Y4 auf den Markt bringt. Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300€, während die Handelskette für das Vorgängermodell Y3 im Einkauf nur 250€ bezahlen musste. Um die Lagerbestände noch zu verkaufen, bietet die Handelskette ab dem Verkaufsstart des Y4 die Smartphones des Typs Y3 für 199€ an. Aufgrund früherer Erfahrungen geht die Handelskette davon aus, dass von den verkauften Smartphones der Modelle Y3 und Y4 trotz des Preisnachlasses nur 26% vom Typ Y3 sein werden. Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung, zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97€ mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.

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