• Aufgabe 1

    Gegeben sind die Ebene \(E:\;3x_1+6x_2+4x_3=16\) und eine Geradenschar durch \(g_a:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}a\\1\\0\end{array}\right);\;a\in\mathbb{R}.\)

  • Aufgabe 2

    15 Minuten 3 Punkte

    Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden \(g_4\) mit der Ebene \(E\). 
    Welche Gerade der Schar ist orthogonal zu \(g_4\)?

  • Aufgabe 3

    15 Minuten 3 Punkte

    Berechnen Sie den Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\). 
    Für welche Werte von \(a\) mit \(-10\le a\le 10\) hat der Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\) die Weite 10°?

  • Aufgabe 4

    15 Minuten 3 Punkte

    Begründen Sie, dass alle Geraden \(g_a\) in der Ebene \(F:\;x_3=1\) liegen. Es gibt eine Gerade \(h\), die durch den Punkt \(P(5/1/1)\) geht und in \(F\) liegt, aber nicht zur Schar gehört. 
    Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden \(h\).

  • Aufgabe 5

    Bei einem Biathlonwettbewerb läuft ein Athlet eine 2,5 km lange Runde, dann schießt er liegend fünf Mal; anschließend läuft er eine zweite Runde und schießt stehend fünf Mal; nach einer dritten Runde erreicht er das Ziel. Für jeden Fehlschuss muss er direkt nach dem Schießen eine 200 m lange Strafrunde laufen. Aufgrund der bisherigen Schießleistungen geht der Trainer davon aus, dass der Athlet stehend mit 88% und liegend mit 93% Wahrscheinlichkeit trifft. Es wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind.

  • Aufgabe 6

    5 Minuten 1 Punkte

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft.

  • Aufgabe 7

    15 Minuten 3 Punkte

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet im gesamten Wettbewerb höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss.

  • Aufgabe 8

    10 Minuten 2 Punkte

    Der Athlet möchte seine Leistungen im Stehendschießen verbessern und künftig mit über 95% Wahrscheinlichkeit bei fünf Schüssen mindestens vier Mal treffen. 
    Welche Trefferwahrscheinlichkeit muss er dafür mindestens erreichen?