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Originalprüfung 2015 Geometrie B2 LK


Aufgabe 1

Eine Fabrikhalle soll in einen gleichmäßig ansteigenden Hang hinein gebaut werden. Dazu wird aus dem Hang Erde abgetragen. Der entstehende Einschnitt in den Hang wird im Folgenden als Baugrube bezeichnet. Das Gelände vor der Baugrube ist eben und liegt in der x-y-Ebene. Der Übergang von der x-y-Ebene in den Hang wird von der Geraden \(g\) beschrieben, die durch die Punkte \(A(–10|30|0)\) und \(B(–30|90|0)\) verläuft (Material). Diese Punkte sind gleichzeitig die beiden vorderen Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche der Baugrube. Der Punkt \(D(–40|20|0)\) ist ein weiterer Eckpunkt dieser Grundfläche. 
Modellhaft kann angenommen werden, dass der Hang in einer Ebene \(H\) liegt. In dieser Ebene liegen auch die beiden oberen Eckpunkte \(E\) und \(F(–45|5|15)\) der Baugrube. Alle Angaben erfolgen in Metern.

1.1

Berechnen Sie den fehlenden Eckpunkt \(C\) der Grundfläche \(ABCD\) der Baugrube. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass diese Grundfläche bei \(A\) einen rechten Winkel besitzt. 

(4 BE)

1.2

Geben Sie eine Gleichung der Hangebene \(H\) in Parameterform an und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene. 
[zur Kontrolle: \(H: 9x + 3y + 26z = 0\)

(6 BE)

1.3

Von einem festen Messpunkt \(P(30|20|5)\) außerhalb der Baustelle wird der obere Eckpunkt \(E\) der Baugrube über den Vektor \(\vec v=\begin{pmatrix}-21\\15\\2\end{pmatrix}\) anvisiert. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(E\)

(4 BE)

1.4

Die Punkte \(D,\ C,\ E\) und \(F\) sind die Eckpunkte der „hinteren Wand“ der Baugrube. Sie liegen in der steil abfallenden Ebene \(J\). Eine Koordinatengleichung dieser Ebene lautet \(J: 3x + y + 2z = -100\). Nach Bauvorschrift darf eine solche Ebene gegenüber der Grundfläche höchstens einen Steigungswinkel von \(60^°\) besitzen.

Untersuchen Sie, ob die Ebene \(J\) die Vorgabe der Bauvorschrift erfüllt.

(3 BE)

  • Punkte:  17

Aufgabe 2

Zwei Meter unterhalb des Mittelpunktes der Grundfläche \(ABCD\) beginnt die Entwässerungsleitung des gesamten Bauvorhabens. Sie hat ein gleichmäßiges Gefälle von \(2\ \%\). Die Gerade, die sich durch die Projektion der Entwässerungsleitung in die x-y-Ebene ergibt, hat den Richtungsvektor \(\vec v_{xy}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\).

2.1

Bestimmen Sie für den dreidimensionalen Raum die Gleichung der Geraden \(g_E\), die den Verlauf der Entwässerungsleitung beschreibt.
[zur Kontrolle : \(g_E: \vec x=\begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\-0,1\end{pmatrix}\)]

(5 BE)

2.2

Der öffentliche Hauptkanal, an den die Entwässerungsleitung angeschlossen werden soll, lässt sich mithilfe folgender Geradengleichung modellhaft beschreiben:

\(g_E: \vec x=\begin{pmatrix}65\\20\\-3,5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\4\\-0,01\end{pmatrix}\)

Da sich die Entwässerungsleitung und der Hauptkanal nicht schneiden, ist ein vertikaler, in Richtung der z-Achse verlaufender Fallschacht einzubauen, der die Entwässerungsleitung mit dem Hauptkanal verbindet. Ermitteln Sie die Höhe dieses Fallschachtes.

(4 BE)

Material

 - Abbildung 1

  • Punkte:  9

Aufgabe 3

Entwickeln Sie eine Lösungsstrategie, mit der das Volumen des Erdaushubs für die Baugrube berechnet werden kann. Erläutern Sie die einzelnen Schritte Ihres Lösungsweges. Eine Durchführung der entsprechenden Rechnungen ist nicht erforderlich.

(4 BE)

  • Punkte:  4
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