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Originalprüfung 2015 Analytische Geometrie HT4 LK


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(O(0|0|0)\), \(A(6|8|0)\), \(B(-2|14|0)\), \(C(-8|6|0)\) und \(S(-1|7|10)\) Eckpunkte der Pyramide \(OABCS\), deren Grundfläche das Viereck \(OABC \) ist (siehe Abbildung unten).

Originalprüfung 2015 Analytische Geometrie HT4 LK - Abbildung 1

Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.

Aufgabe a)

  1. Zeigen Sie, dass das Viereck \(OABC\) ein Quadrat ist.
  2. Berechnen Sie die Oberfläche der Pyramide \(OABCS\).

(5 + 5 Punkte)

Aufgabe b)

  1. Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) her, die durch die Punkte \(B\), \(C\) und \(Q(3|4|10)\) festgelegt ist.
    Diese Ebene gehört zu der durch \(E_a:\;-4a\cdot x_1+3a\cdot x_2+25\cdot x_3=50a,\;a\in\mathbb{R}\), gegebenen Ebenenschar. [Zur Kontrolle: \(E=E_5\)]
  2. Zeigen Sie, dass die Punkte \(B\) und \(C\) in jeder Ebene \(E_a\) liegen.
  3. Nennen Sie ohne Nachweis die verschiedenen Arten von Schnittgebilden, die beim Schnitt einer der Ebenen \(E_a\) mit der Pyramide \(OABCS\) entstehen können.
  4. Für genau einen Wert von \(a\) ist das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide ein Dreieck.
    Bestimmen Sie den entsprechenden Wert von \(a\).
  5. Die Ebene \(E\) zerlegt die Pyramide \(OABCS\) in zwei Teilkörper. Sie können ohne Nachweis verwenden, dass das Schnittgebilde den Flächeninhalt \(\frac{400}{9}\sqrt{2} \) [FE] besitzt.
    Bestimmen Sie ein Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper.

(5 + 3 + 4 + 3 + 8 Punkte)

Aufgabe c)

Auf der Geraden \(AS\) gibt es genau einen Punkt \(P\), sodass die Strecken \(\overline{OP}\) und \(\overline{BP}\) senkrecht zu \(AS\) sind.

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(P\).
    [Zur Kontrolle: \(P=\left(\frac{11}{3}\left|\frac{23}{3}\right|\frac{10}{3}\right)\)]
  2. Begründen Sie, dass der Streckenzug \(\overline{OPB}\) ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechnen Sie die Länge des Streckenzuges.
  3. Es gibt einen weiteren Streckenzug \(\overline{ONB}\;(N\neq P)\), der ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide ist.
    Begründen Sie diese Aussage und bestimmen Sie die Koordinaten von \(N\).

(6 + 5 + 6 Punkte)

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