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Originalprüfung 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK


Aufgabe 2.1: Methanmolekül

Ein Tetraeder ist gegeben durch seine Eckpunkte \( H_1(8 | 0 | 0)\), \(H_2 (0 | 8 | 0)\), \(H_3 (0 | 0 | 8)\) und \(H_4 (8 | 8 | 8)\).

Originalprüfung 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK - Abbildung 1

a)

Der Tetraeder wird als Modell eines Methanmoleküls verwendet. Dabei stellen die vier Eckpunkte die vier Wasserstoffatome und der Punkt \(C(4 | 4 | 4)\) das Kohlenstoffatom dar. Zeichnen Sie das Methanmodell als Tetraeder in das beigefügte Koordinatensystem ein.

(4 BE)

b)

Zeigen Sie, dass der Punkt \(C\) der Mittelpunkt des Tetraeders ist.

(5 BE)

c)

Weisen Sie nach, dass der Vektor \(\overrightarrow{H_1H_2}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\) ist, in der die Punkte \(H_3\), \(H_4\) und \(C\) liegen. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) auf. [Zur Kontrolle: \(E : −x + y = 0\)]

(9 BE)

d)

Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \(\overline {H_1H_2 }\) in der Ebene \(E\) (aus Teil c) liegt. Begründen Sie, dass die Ebene \(E\) Symmetrieebene des Tetraeders ist.

(4 BE)

e)

Der Winkel \(α\) zwischen den Strecken \(\overline {CH_1}\) und \(\overline {CH_2}\) wird Bindungswinkel genannt. Berechnen Sie den Bindungswinkel im Methanmolekül.

(4 BE)

f)

Methan hat die nebenstehende Strukturformel. Erklären Sie, dass diese auch aus geometrischer Sicht gerechtfertigt ist, wenn man das Methanmolekül in eine geeignete Ebene projiziert.

Originalprüfung 2015 Analytische Geometrie 2.1 GK - Abbildung 2

(4 BE)

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